《数值计算》课程教学课件（讲稿）第2章 插值法（5/5）

二、三次样条插值函数的建立1.构造三次样条插值函数的三转角法设a=x<x,<….<x,=b为区间[a,b] 的一个分割如果函数f(x)在节点xo,x,,x,处的函数值为f(x,)= y,j= 0,l,,n如果S(x)是f(x)的三次样条插值函数，则其必满足S(x,)= y,, j=0,l, ..,n-l,nlimS(x)= S(x,)= yj,j=1,..,n-1x→xj--(2)limS'(x)= S'(x,)=m;,j=l,.,n-1x-→xXj上页lim s"(x)= S"(x,),j=l,...,n-1下页x→xj返园

上页 下页 返回 如果函数f (x)在节点x0 , x1 ,  , xn 处的函数值为 f (xj )  yj , j  0,1,  ,n 设a  x0  x1  xn  b为区间 [a,b] 的一个分割 如果S(x)是f (x)的三次样条插值函数，则其必满足 S(xj )  yj , j  0,1,  ,n1,n lim ( )  ( )  ,  1, , 1  S x S xj mj j n x x j  lim ( )  ( ),  1, , 1  S x S xj j n x x j  lim ( )  ( )  ,  1, , 1  S x S xj yj j n x x j  -(2)        三转角法 二、三次样条插值函数的建立 1. 构造三次样条插值函数的

S(x）要满足上述四组共4n-2个)条件S,(x)xe[xo,x,]S(x)在[a,b]上S,(x)xe[x,x,]--(3)S(x)=是分段函数即·(S.-I(x)Xe[xn-1,xn]S,(x)是[xk,xk+il上的(两点)三次样条插值多项式满足St(x,)=yjj=k,k+1lim S,(x)= lim Sk-i(x)x-→xtx→xk--(4)lim S(x)= lim Sk-i(x)k =1,2,...,n-1x-→xkX→Xk上页共4n-2个条件lim S"(x)= lim S"-,(x)下页x-→xX-→Xk返园

上页 下页 返回 S(x)要满足上述四组(共4n 2个)条件 是分段函数即 在 上 , S(x) [a,b] ( ) [ , ] ( ) [ , ] ( ) [ , ] 1 1 1 1 2 0 0 1 Sn x x xn xn S x x x x S x x x x               S(x)  Sk (x)是[xk , xk1 ]上 的(两 点)三次样条插值多项式,满 足 k j j S (x )  y lim ( ) lim ( ) S x Sk 1 x x x k x xk k       lim ( ) lim ( ) S x Sk 1 x x x k x xk k         lim ( ) lim ( ) S x Sk 1 x x x k x xk k         k 1,2,  ,n1 共4n 2个条件 j  k,k 1 -(3)        -(4)

S,(x)是[xk,xk+i]上的三次样条插值多赋,应有4个待定系数即要确定S(x），必须确定4n个待定的系数少两个条件并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制也要对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是所谓的边界条件S'(x) = f S'(xn)= fi ---(5)第一类（一阶）边界条件S"(xo)= f" S"(xn)= f" ---(6)第二类（二阶）边界条件lim S(P (x) = lim S(pP(x) --- (7)第三类（周期）边界条件x-→xtx-→xn上页p=1,2下页返圆

上页 下页 返回 Sk (x)是[xk , xk1 ]上的三次样条插值多项式,应 有4个待定系数 即要确定S(x)，必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件: 第一类(一阶)边界条件 0 0 S(x )  f  n n S(x )  f  第二类(二阶)边界条件 0 0 S(x )  f  n n S(x )  f  第三类(周期)边界条件 lim ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 0 0 S x S x p n x x p x x n       p  1,2 -(5) -(6) -(7)

一般使用第一、二类边界条件，常用第二类边界条件加上任何一类边界条件（至少两个)后，条件就够了。确定S(x）必须确定4n个待定系数，条件正好是4n个即 j=0,l,...,n(St(x,)=y;k=1,2,...,n-1lim S,(x) = lim Sk-i(x)x→xtX→xk---(8)k =1,2,..,n-1lim S'(x) = lim Ss-(x=mkx→xtX→xkk=1,2,...,n-1lim S"(x) = lim S"-,(x)x-xtX→XkS'(xo)= f° S'(xn)= f"上页或 s"(x)= f" S"(x)= f"下页返圆

上页 下页 返回 加上任何一类边界条件(至少两个)后，条件就够了。 确 定S(x)必须确定4n个待定系数，条件正好也 是4n个 一般使用第一、二类边界条件, 即 k j j S (x )  y lim ( ) lim ( ) S x Sk 1 x x x k x xk k       lim ( ) lim ( ) S x Sk 1 x x x k x xk k         lim ( ) lim ( ) S x Sk 1 x x x k x xk k         k 1,2,  ,n1 j  0,1,  ,n k 1,2,  ,n1 k 1,2,  ,n1  mk 0 0 S(x )  f  n n S(x )  f         -(8) 0 0 S(x )  f  n n 或 S(x )  f  常用第二类边界条件

9设 S'(x,)=m,j=0,l,."",n逐个求f(x)在小区间x,x+l上的三次插值多项式(x)将S,(x)表示为xk，xk+i]上的两点三次埃尔米特插值多项式St(x)= H(k (x) = yrα(* (x)+ yk+iα( (x)+ m.β(* (x)+ mk+1β(*'(x)X-XX-XkX-Xk+1X-Xk+11+21+2+k+1=yk八Xk+1-XkXk+1-Xk)X-Xk+1)(Xk-Xk+1X-Xk+1X-Xk+mk(x-xk)+mk+I((x -Xk+1)上页Xk-Xk+1Xk+1-Xk下页返园

上页 下页 返回 设 S(xj )  mj , j  0,1,  ,n ( ) [ , ] ( ) 逐个求f x 在小区间 xk xk1 上的三次插值多项式Sk x 将Sk (x)表示为[xk , xk1 ]上的两点三次埃尔米特插值多项式 S ( x) k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 0 ( ) 1 1 ( ) 0 ( ) H3 x y x y x m x m x k k k k k k k k k                           1 1 1 1 2 k k k k x x x x y 2 1           k k k x x x x    mk x  xk 2 1 1             k k k x x x x 2 1           k k k x x x x    mk1 x  xk1             k k k k x x x x y 1 1 2 2 1 1             k k k x x x x -(9)