《高等数学川》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16043004 课程名称：高等数学Ⅱ 英文名称：Higher mathematics II 课程类别：专业基础课 时：64 学 分.4 适用对象：理工科专业 考核方式：考试 先修课程：高等数学 二、课程简介 《高等数学Ⅱ》是高等学校理工科专业学生的必修课。通过本课程的学习，使学 生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能， 为学习后续课程和获得进 步的数学知识奠定必要的基础。通过知识内容的传授，培养学生的运算能力、抽象思 维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的 能力。其具体内容包括：空间解析几何与向量代数：多元函数微积分学（多元函数微 分学、重积分、曲线积分和曲面积分)：无穷级数。 Higher mathematics II is a compulsory course for students majoring in science and engineering in institutions of higher learning.Through leamning of this course,make the students master the basic concepts of higher mathematics and the basic theory and basic computing skills,for leamning the follow-up courses and further the mathematics knowledge to lay the dation.Through the knowled g ntent of teachin cultivat students operation ability.abstract thinking ability.logical reasoning ability,space imagination ability and the integrated use of knowledge to the ability to analyze and solve problems.The specific contents include:spatial analytic geometry and vector algebra; Multifunction calculus (multifunction differential calculus,reintegration,curvilinear integ ral and surface inte a),Infinite series 三、课程性质与教学目的 目前，《高等数学II》己成为理工科类及部分经济、管理类专业的主干学科 基础课程，是教育部审定的核心课程和硕士研究生入学考试“数学1”和“数学2 的必考科目，对学好其它专业课程意义重大。近十多年来，国内的理工学科、经 济学科和管理学科都在加速与西方先进水平接轨，对数学的要求也越来越高 量研究、实证分析、 模型化处理已成为学科发展的一个潮流，这更突出了数学的 基础地位，凸显了它的功能和作用。 在我校，《高等数学IⅡ》课程是计算机科学与技术、软件工程、自然地理与
1 《高等数学 II》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16043004 课程名称：高等数学 II 英文名称：Higher mathematics II 课程类别：专业基础课 学 时：64 学 分：4 适用对象: 理工科专业 考核方式：考试 先修课程：高等数学 I 二、课程简介 《高等数学 II》是高等学校理工科专业学生的必修课。通过本课程的学习，使学 生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和获得进一 步的数学知识奠定必要的基础。通过知识内容的传授，培养学生的运算能力、抽象思 维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的 能力。其具体内容包括：空间解析几何与向量代数；多元函数微积分学（多元函数微 分学、重积分、曲线积分和曲面积分）；无穷级数。 Higher mathematics II is a compulsory course for students majoring in science and engineering in institutions of higher learning. Through learning of this course, make the students master the basic concepts of higher mathematics and the basic theory and basic computing skills, for learning the follow-up courses and further the mathematics knowledge to lay the necessary foundation. Through the knowledge content of teaching, cultivate students' operation ability, abstract thinking ability, logical reasoning ability, space imagination ability and the integrated use of knowledge to the ability to analyze and solve problems. The specific contents include: spatial analytic geometry and vector algebra; Multifunction calculus (multifunction differential calculus, reintegration, curvilinear integral and surface integral); Infinite series. 三、课程性质与教学目的 目前，《高等数学 II》已成为理工科类及部分经济、管理类专业的主干学科 基础课程，是教育部审定的核心课程和硕士研究生入学考试“数学 1”和“数学 2” 的必考科目，对学好其它专业课程意义重大。近十多年来，国内的理工学科、经 济学科和管理学科都在加速与西方先进水平接轨，对数学的要求也越来越高，定 量研究、实证分析、模型化处理已成为学科发展的一个潮流，这更突出了数学的 基础地位，凸显了它的功能和作用。 在我校，《高等数学 II》课程是计算机科学与技术、软件工程、自然地理与
资源环境、人文地理与城乡规划管理等专业的一门必修的重要基础理论课 本教 学大纲参照国家教育部工科数学课程指导委员会《（高等数学）课程教学基本要求》 编写。 通过本课程的学习，使学生获得：(1)空间解析几何与向量代数：(2)多元函数 微积分学：（③）无穷级数等方面的基本概念、 ,基本理论和基本运算技能，为学习后继 课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时 要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻 辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算 能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。让学生掌握全面考虑问题的 思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他专业理论课。哲学中的对立统一规律、 量变质变规律、否定之否定规律在《微积分》中时有体现。通过课程内容，让学生加 强辩证唯物主义思维训练：通过数学历史，让学生感受科学家的奋斗精神 四、教学内容及要求 本门课程的内容按教学要求程度的不同，分为三个层次来表述。具体为，对概念 和理论性知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分：对运算、方法 和应用方面的内容，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。 一、空间解析几何与向量代数 (第八章空间解析几何与向量代数) (一)目的与要求 1、理解向量的概念及其表示，理解空间直角坐标系。 2、熟练掌握向量的运算（线性运算、数量积，向量积），了解两个向量垂直、 平行的条件。 3、掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用向量的坐标表达式进行 向量运算的方法。 4、理解曲面方程的概念，知道常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为 旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形， 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 6、知道曲面的交线在坐标平面上的投影。 7、掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决 有关问题。 (二)教学内容 第七章空间解析几何与向量代数 2
2 资源环境、人文地理与城乡规划管理等专业的一门必修的重要基础理论课。本教 学大纲参照国家教育部工科数学课程指导委员会《〈高等数学〉课程教学基本要求》 编写。 通过本课程的学习，使学生获得：(1)空间解析几何与向量代数； (2) 多元函数 微积分学；(3) 无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继 课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻 辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算 能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。让学生掌握全面考虑问题的 思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他专业理论课。哲学中的对立统一规律、 量变质变规律、否定之否定规律在《微积分》中时有体现。通过课程内容，让学生加 强辩证唯物主义思维训练；通过数学历史，让学生感受科学家的奋斗精神。 四、教学内容及要求 本门课程的内容按教学要求程度的不同，分为三个层次来表述。具体为，对概念 和理论性知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分；对运算、方法 和应用方面的内容，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。 一、空间解析几何与向量代数 （第八章 空间解析几何与向量代数） （一）目的与要求 1、理解向量的概念及其表示，理解空间直角坐标系。 2、熟练掌握向量的运算（线性运算、数量积，向量积），了解两个向量垂直、 平行的条件。 3、掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用向量的坐标表达式进行 向量运算的方法。 4、理解曲面方程的概念，知道常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为 旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 6、知道曲面的交线在坐标平面上的投影。 7、掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决 有关问题。 （二）教学内容 第七章 空间解析几何与向量代数
第一节向量及其线性运算 1.主要内容：向量概念：向量的线性运算：空间直角坐标系：利用坐标作向量 的线性运算：向量的模、方向角、投影。 2.基本概念和知识点：向量：向量的和、差和数乘运算：空间直角坐标系：坐 标：坐标原点：坐标轴：坐标平面：卦限：利用坐标作向量的线性云算： 向量的模、方向角、投影 3。问题与应用：利用坐标表示向量：利用坐标作向量的线性运算：利用坐标表 示向量的模、方向角：计算或证明一些简单的几何问题。 第二节数量积向量积 1.主要内容：两向量的数量积：两向量的向量积。 2.基本概念和知识点：两向量的夹角：两向量的数量积：两向量的向量积。 3.问题与应用：数量积与向量积的坐标计算方法：两向量的数量积与两向量垂 直的关系：两向量的向量积与两向量平行的关系。 第三节曲面及其方程 基本 和知识点 曲面方程：旋转曲面：柱面：二次曲面 3.问题与应用：用方程表示曲面。 第四节空间曲线及其方程 1.主要内容：空间曲线的一般方程：空间曲线的参数方程：空间曲线在坐标平 面上的投影。 2.基本概念和知识点：空间曲线：空间曲线的一般方程：空间曲线的参数方程 空间曲线在坐标平面上的投影。 3.问题与应用：用方程组表示空间曲线及其投影 第五节平面及其方程 1.主要内容：平面的点法式方程：平面的一般方程：两平面的夹角。 2.基本概念 和知识点：平面： 平面的法向量（法线）：平面的点法式方程：平 面的一般方程：两平面的夹角。 3.问题与应用：用向量的方法讨论平面的方程和两平面的夹角。 第六节空间直线及其方程 1.主要内容：空间直线的一般方程：空间直线的对称式方程与参数方程：两直 线的夹角：直线与平面的夹角。 2.基本概念和知识点：空间直线：方向向量：空间直线的一般方程：空间直线 的对称式方程与参数方程：两直线的夹角：直线与平面的夹角。 3.问题与应用：用向量的方法讨论空间直线方程、两直线的夹角、直线与平面 的夹角。 3
3 第一节 向量及其线性运算 1．主要内容：向量概念；向量的线性运算；空间直角坐标系；利用坐标作向量 的线性运算；向量的模、方向角、投影。 2．基本概念和知识点：向量；向量的和、差和数乘运算；空间直角坐标系；坐 标；坐标原点；坐标轴；坐标平面；卦限；利用坐标作向量的线性运算； 向量的模、方向角、投影。 3．问题与应用：利用坐标表示向量；利用坐标作向量的线性运算；利用坐标表 示向量的模、方向角；计算或证明一些简单的几何问题。 第二节 数量积 向量积 1．主要内容：两向量的数量积；两向量的向量积。 2．基本概念和知识点：两向量的夹角；两向量的数量积；两向量的向量积。 3．问题与应用：数量积与向量积的坐标计算方法；两向量的数量积与两向量垂 直的关系；两向量的向量积与两向量平行的关系。 第三节 曲面及其方程 1．主要内容：曲面方程的概念；旋转曲面；柱面；二次曲面。 2．基本概念和知识点：曲面方程；旋转曲面；柱面；二次曲面。 3．问题与应用：用方程表示曲面。 第四节 空间曲线及其方程 1．主要内容：空间曲线的一般方程；空间曲线的参数方程；空间曲线在坐标平 面上的投影。 2．基本概念和知识点：空间曲线；空间曲线的一般方程；空间曲线的参数方程； 空间曲线在坐标平面上的投影。 3．问题与应用：用方程组表示空间曲线及其投影。 第五节 平面及其方程 1．主要内容：平面的点法式方程；平面的一般方程；两平面的夹角。 2．基本概念和知识点：平面；平面的法向量（法线）；平面的点法式方程；平 面的一般方程；两平面的夹角。 3．问题与应用：用向量的方法讨论平面的方程和两平面的夹角。 第六节 空间直线及其方程 1．主要内容：空间直线的一般方程；空间直线的对称式方程与参数方程；两直 线的夹角；直线与平面的夹角。 2．基本概念和知识点：空间直线；方向向量；空间直线的一般方程；空间直线 的对称式方程与参数方程；两直线的夹角；直线与平面的夹角。 3．问题与应用：用向量的方法讨论空间直线方程、两直线的夹角、直线与平面 的夹角
(三)思考与实践 本章重点为向量的线性运算，向量的数量积、向量积，用向量的坐标表达式进 行向量运算，向量与空间图形的关系，各种空间图形的方程。难点为向量的数量积、 向量积的定义与计算，各种空间图形方程的推导。务必要求学生多动手、多画图，理 解建立空间直角坐标系与定义向量及其运算的意义，熟习向量的各种运算，以及这些 运算与各种空间形式的关系。作业为教材中每节后的相应习题， 以计算题和应用题为 主。 (四)教学方法与手段 共12课时。课堂讲授为主，习题课、辅导、练习为辅，可适当运用多媒体课件 以话助学生建立空间形象。一些间题可在课堂进行讨论。 二、多元函数微分学 (第九章多元函数微分法及其应用) (一)目的与要求 1、理解多元函数的概念。 2、知道二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 注意，极限是典型的运动与发展的结果，不可用静止的眼光看待它。它体现了哲学中 的量变质变规律。 3、理解偏导数和全微分的概念，并熟练掌握其计算方法，知道全微分存在的必 要条件和充分条件 4、熟练掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 5、掌握由一个方程确定的隐函数的求导方法，会求由两个方程组成的方程组确 定的隐函数的偏导数。 6、了解空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。 7、知道方向导数和梯度的概念及其计算方法。 8、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，掌握求条件极 值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。这里需要强 调，极值与最大值最小值之间的关系是局部与整体的辩证关系。 (二)教学内容 第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 1.主要内容：平面点集维空间：多元函数概念：多元函数的极限：多元函 4
4 （三）思考与实践 本章重点为向量的线性运算，向量的数量积、向量积，用向量的坐标表达式进 行向量运算，向量与空间图形的关系，各种空间图形的方程。难点为向量的数量积、 向量积的定义与计算，各种空间图形方程的推导。务必要求学生多动手、多画图，理 解建立空间直角坐标系与定义向量及其运算的意义，熟习向量的各种运算，以及这些 运算与各种空间形式的关系。作业为教材中每节后的相应习题，以计算题和应用题为 主。 （四）教学方法与手段 共 12 课时。课堂讲授为主，习题课、辅导、练习为辅，可适当运用多媒体课件， 以帮助学生建立空间形象。一些问题可在课堂进行讨论。 二、多元函数微分学 （第九章 多元函数微分法及其应用） （一）目的与要求 1、理解多元函数的概念。 2、知道二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 注意，极限是典型的运动与发展的结果，不可用静止的眼光看待它。它体现了哲学中 的量变质变规律。 3、理解偏导数和全微分的概念，并熟练掌握其计算方法，知道全微分存在的必 要条件和充分条件。 4、熟练掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 5、掌握由一个方程确定的隐函数的求导方法，会求由两个方程组成的方程组确 定的隐函数的偏导数。 6、了解空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。 7、知道方向导数和梯度的概念及其计算方法。 8、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，掌握求条件极 值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。这里需要强 调，极值与最大值最小值之间的关系是局部与整体的辩证关系。 （二）教学内容 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1．主要内容：平面点集；n 维空间；多元函数概念；多元函数的极限；多元函
数的连续性。 2.基本概念和知识点：内点：外点：边界点：聚点：开集：闭集：连通集：区 域：闭区域：有界集：无界集：维空间：多元函数概念：多元函数的极限： 多元函数的连续性。 3.问题与应用：多元函数与一元函数的异同：多元函数极限的计算：多元函数 连续性的判断 第二节偏导数 3.问题与应用：偏导数的计算；高阶偏导数的计算。 第三节全微分 1.主要内容：全微分的定义：全微分的计算。 2.基本概念和知识点：偏增量：偏微分：全增量：全微分。 3问颗与应用，全微分与偏导之间的关系，全微分的计算 第四节多元复合函数的求导法则 1.主要内容 多元复合函数的求导公式 2.基本概念和知识点：多元复合函数：多元复合函数的求导公式（链式法则）。 3.问题与应用：掌握多元复合函数的求导公式（链式法则）的规律，举一反三。 第五节隐函数的求导公式 1.主要内容：一个方程的隐函数的求导公式：方程组的隐函数的求导公式。 2.基本概念和知识点：多元隐函数： 个方程的隐函数的求导公式：方程组的 隐函 数的求导公 3.问题与应用：灵活运用各种方法（公式法、方程两边对自变量求偏导数等方 法)求隐函数的导数。 第六节多元函数微分学的几何应用 1.主要内容：空间曲线的切线与法平面：曲面的切平面与法线。 2.基本概念和知识点：空间曲线：空间曲线的切向量：空间曲线的法平面方程： 曲线的向量方程：向量值函数的导数：曲面的切平面方程曲面的法向量 曲面的法线方程 3.问题与应用：用向量和导数的方法研究空间曲线的切线与法平面、曲面的切 平面与法线。 第七节方向导数与梯度 1.主要内容：方向导数：梯度。 2.基本概念和知识点：方向导数：梯度。 3.问题与应用：方向导数和梯度的计算 第八节多元函数的极值及其求法 1.主要内容：多元函数的极值及最大值、最小值：条件极值、拉格朗日乘数法。 5
5 数的连续性。 2．基本概念和知识点：内点；外点；边界点；聚点；开集；闭集；连通集；区 域；闭区域；有界集；无界集；n 维空间；多元函数概念；多元函数的极限； 多元函数的连续性。 3．问题与应用：多元函数与一元函数的异同；多元函数极限的计算；多元函数 连续性的判断。 第二节 偏导数 1．主要内容：偏导数的定义及其计算法；高阶偏导数。 2．基本概念和知识点：偏导数；偏导函数；高阶偏导数。 3．问题与应用：偏导数的计算；高阶偏导数的计算。 第三节 全微分 1．主要内容：全微分的定义；全微分的计算。 2．基本概念和知识点：偏增量；偏微分；全增量；全微分。 3．问题与应用：全微分与偏导数之间的关系；全微分的计算。 第四节 多元复合函数的求导法则 1．主要内容：多元复合函数的求导公式。 2．基本概念和知识点：多元复合函数；多元复合函数的求导公式（链式法则）。 3．问题与应用：掌握多元复合函数的求导公式（链式法则）的规律，举一反三。 第五节 隐函数的求导公式 1．主要内容：一个方程的隐函数的求导公式；方程组的隐函数的求导公式。 2．基本概念和知识点：多元隐函数；一个方程的隐函数的求导公式；方程组的 隐函数的求导公式。 3．问题与应用：灵活运用各种方法（公式法、方程两边对自变量求偏导数等方 法）求隐函数的导数。 第六节 多元函数微分学的几何应用 1．主要内容：空间曲线的切线与法平面；曲面的切平面与法线。 2．基本概念和知识点：空间曲线；空间曲线的切向量；空间曲线的法平面方程； 曲线的向量方程；向量值函数的导数；曲面的切平面方程；曲面的法向量； 曲面的法线方程。 3．问题与应用：用向量和导数的方法研究空间曲线的切线与法平面、曲面的切 平面与法线。 第七节 方向导数与梯度 1．主要内容：方向导数；梯度。 2．基本概念和知识点：方向导数；梯度。 3．问题与应用：方向导数和梯度的计算。 第八节 多元函数的极值及其求法 1．主要内容：多元函数的极值及最大值、最小值；条件极值、拉格朗日乘数法