《数学分析（1)》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16068906 课程名称：数学分析() 英文名称：Mathematical Analysis(I) 课程类别：学科基础课 时：96 学 分分：6 适用对象：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计专业 考核方式：考试 先修课程：数学分析(1) 二、课程简介 中文简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于17世纪，直到19世纪末及20世 纪初才发展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。数学分析课 是各类大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。是进 步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、计算方法、实变函数与泛函分析等 后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生的必考基础基础课之一。 本课程基本内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元函数微积分 学等方面的系统知识，用现代数学工具一一极限的思想与方法研究函数的分析特性一 连续性、可可微性、可积性。极限方法是贯穿千全课程的主线。课程的目的是诵时三个 学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从 事进一步学习所需的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学 思维素质，提高学生分析与解决问题的能力。 英文简介：Mathematical analysis,.commonly known as"calculus”,was founded in seventeenth Century,until the late nineteenth Century and early twentieth Century to develop into a complete theoretical system,rich content,a very wide range of applied mathematics.The course of mathematical analysis is the most important professional basic course for all kinds of college students majoring in mathematics and applied mathematics and information and computing science.he step is to further study the complex function,differential equations,differential geometry,probability theory,calculation method, real variable function and functional analysis of the course of the study, is the master of mathematics class students compulsory basic course of 1
1 《 数学分析（II）》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16068906 课程名称：数学分析（II） 英文名称：Mathematical Analysis (II) 课程类别：学科基础课 学 时：96 学 分：6 适用对象:数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计专业 考核方式：考试 先修课程：数学分析（I） 二、课程简介 中文简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于 17 世纪，直到 19 世纪末及 20 世 纪初才发展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。数学分析课 是各类大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。是进一 步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、计算方法、实变函数与泛函分析等 后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生的必考基础基础课之一。 本课程基本内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元函数微积分 学等方面的系统知识，用现代数学工具---极限的思想与方法研究函数的分析特性--- 连续性、可微性、可积性。极限方法是贯穿于全课程的主线。课程的目的是通过三个 学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从 事进一步学习所需的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学 思维素质，提高学生分析与解决问题的能力。 英文简介：Mathematical analysis, commonly known as "calculus", was founded in seventeenth Century, until the late nineteenth Century and early twentieth Century to develop into a complete theoretical system, rich content, a very wide range of applied mathematics. The course of mathematical analysis is the most important professional basic course for all kinds of college students majoring in mathematics and applied mathematics and information and computing science. he step is to further study the complex function, differential equations, differential geometry, probability theory, calculation method, real variable function and functional analysis of the course of the study, is the master of mathematics class students compulsory basic course of
foundation. The basic contents of this course are:the system of knowledge limit theory, a function calculus,series theory,multiplex function calculus,research ideas and methods of modern mathematical function with limit analysis tools -Characteristics-continuity and differentiability and integrability.Limit method is the main line that runs through the whole curriculum.The purpose of this course is to train the three semester through mathematics learning and system,to improve students'mathematics accomplishment,especially the analysis of cultivation,accumulation of engaged in further study of mathematical knowledge required,master the basic ideas and methods of mathematics,cultivation and training of students'mathematical thinking ability,improve the students'ability to analyze and solve problems. 三、课程性质与教学目的 《数学分析》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的最重要的专业基础 课和核心必修课。本课程理论严谨、系统性强。通过本课程的学习，要使学生掌握数 学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数 学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力， 具备熟练的运算能力和技巧，提高建立数学模型，并应用微积分学这一工具解决实 际应用问题的能力，为今后从事基础数学和应用数学方面的研究打下扎实的理论基 础。 本课程教学目的与要求： 了解微积分学的基础理论：充分理解微积分学的历史背景及数学思想。掌握微积 分学的基本理论，方法和技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能 较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。 围绕全面提高人才培养能力这个核心点，在价值塑造、知识传授、能力培养“三 位一体”的人才培养目标中，补齐价值塑造这块短板，寓价值观引导于知识传授和能 力培养之中，帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观
2 foundation. The basic contents of this course are: the system of knowledge limit theory, a function calculus, series theory, multiplex function calculus, research ideas and methods of modern mathematical function with limit analysis tools - Characteristics - continuity and differentiability and integrability. Limit method is the main line that runs through the whole curriculum. The purpose of this course is to train the three semester through mathematics learning and system, to improve students' mathematics accomplishment, especially the analysis of cultivation, accumulation of engaged in further study of mathematical knowledge required, master the basic ideas and methods of mathematics, cultivation and training of students' mathematical thinking ability, improve the students' ability to analyze and solve problems. 三、课程性质与教学目的 《数学分析》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的最重要的专业基础 课和核心必修课。本课程理论严谨、系统性强。通过本课程的学习，要使学生掌握数 学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数 学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力， 具备熟练的运算能力和技巧， 提高建立数学模型， 并应用微积分学这一工具解决实 际应用问题的能力，为今后从事基础数学和应用数学方面的研究打下扎实的理论基 础。 本课程教学目的与要求： 了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的历史背景及数学思想。掌握微积 分学的基本理论， 方法和技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能 较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。 围绕全面提高人才培养能力这个核心点，在价值塑造、知识传授、能力培养“三 位一体”的人才培养目标中，补齐价值塑造这块短板，寓价值观引导于知识传授和能 力培养之中，帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观
1.重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展。在 教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景。 2.重视相关知识的整合，将一元函数与多元函数的极限，连续及求导（微分）整合， 将不定积分与定积分的计算方法整合，将重积分和线面积分整合，将反常级 数与反常积分的收敛性整合，将函数列，函数项级数和含参量反常积分的 致收敛性整合。 3.除体现本课程严格的逻辑体系外，要反映现代数学的发展趋势，吸收和采 用现代数学的思想观点与先进的处理方法。 4.为了提高学生的数学修养，应重视基本定理的论证。用ε-6的思想贯穿于极 限的存在性，定积分的存在性，（一致）收敛性及（一致）连续性等理论的论证中。 5.以课堂教学为主，重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用。 6.重视实数理论体系对学习微积分学理论和建立现代数学观点的不可或缺的作 用。 7.紧紧围绕坚定学生理想信念，以爱党、爱国、爱社会主义、爱人民、爱集体 为主线，围绕政治认同、家国情怀、文化素养、宪法法治意识、道德修养等重点优化 课程思政内容供给，系统进行中国特色社会主义和中国梦教育、社会主义核心价值观 教育、法治教育、劳动教育、心理锥康教育、中华优秀传统文化教育。 四、教学内容及要求 第六章微分中值定理及其应用 (·)目的与要求 1.熟练掌握罗尔定理和拉格朗日定理，理解柯西中值定理，握带有皮 亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式。 2.能熟练计算不定式的极限，会求函数的极值与最值。 3.会讨论函数的性态并能作图。 4.介绍三位数学家的生平以及中值定理的起源发展过程，引导学生认识事 物的发展规律。使学生了解到定理的知识点，同时也认识到从简单到复杂， 从特殊到一般的过程，利于学生了解到事物的发展规律，培养学生由点到 面，逻辑归纳等能力的培养。 5.讨论在销售饮料时如何通过建立数学模型来确定能够获取最大利润的 方案设计。让学生体会数据来源的真实性，严谨性，不能虚作假，遇到问 3
3 1． 重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展。在 教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景。 2．重视相关知识的整合，将一元函数与多元函数的极限，连续及求导(微分)整合， 将不定积分与定积分的计算方法整合，将重积分和线面积分整合， 将反常级 数与反常积分的收敛性整合， 将函数列， 函数项级数和含参量反常积分的一 致收敛性整合。 3． 除体现本课程严格的逻辑体系外， 要反映现代数学的发展趋势， 吸收和采 用现代数学的思想观点与先进的处理方法。 4．为了提高学生的数学修养，应重视基本定理的论证。用ε-δ的思想贯穿于极 限的存在性，定积分的存在性，(一致)收敛性及(一致)连续性等理论的论证中。 5．以课堂教学为主， 重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用。 6．重视实数理论体系对学习微积分学理论和建立现代数学观点的不可或缺的作 用。 7．紧紧围绕坚定学生理想信念，以爱党、爱国、爱社会主义、爱人民、爱集体 为主线，围绕政治认同、家国情怀、文化素养、宪法法治意识、道德修养等重点优化 课程思政内容供给，系统进行中国特色社会主义和中国梦教育、社会主义核心价值观 教育、法治教育、劳动教育、心理健康教育、中华优秀传统文化教育。 四、教学内容及要求 第六章 微分中值定理及其应用 （一）目的与要求 1．熟练掌握罗尔定理和拉格朗日定理，理解柯西中值定理，掌握带有皮 亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式。 2．能熟练计算不定式的极限，会求函数的极值与最值。 3．会讨论函数的性态并能作图。 4.介绍三位数学家的生平以及中值定理的起源发展过程，引导学生认识事 物的发展规律。使学生了解到定理的知识点，同时也认识到从简单到复杂， 从特殊到一般的过程，利于学生了解到事物的发展规律，培养学生由点到 面，逻辑归纳等能力的培养。 5. 讨论在销售饮料时如何通过建立数学模型来确定能够获取最大利润的 方案设计。让学生体会数据来源的真实性，严谨性，不能虚作假，遇到问
题理性思考，严谨踏实，求真务实。 (二)教学内容 第一节微分中值定理(《数学分析(I)》) 1.主要内容 函数极值与费马引理、罗尔中值定理与拉格朗日中值定理、单调函数、柯西中值 定理。 2.基本极念和知识点 函数极值与费马引理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、函数单调性判定定理、 柯西中值定理。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件、结论和证明方法。会用导数 判别函数的单调性，能用中值定理解决一些证明问题。了解柯西中值定理。 第二节洛必达法则(《数学分析(II)》) 1,主要内容 洛必达法则。 2,基本概念和知识点 不定式极限、洛必达法则的使用。 3.问题与应用（能力要求） 掌握用洛必达法则求各种不定式极限。 第三节泰勒公式和插值多项式(《数学分析(II)》) 1.主要内容 带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、在近似计算上的应用。 2.基本概念和知识点 带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的 应用。 3.问题与应用（能力要求） 了解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，熟记六个常见 函数的麦克劳林公式。 第四节应用举例(《数学分析(II)》) 1.主要内容 极值判别、最大值与最小值、函数的凸性与拐点、作函数图象。 2.基本概念和知识点 函数极值的第一、二、三充分条件、函数的极值和最值的求法、凹凸函数及判定 定理、詹森不等式、拐点、拐点判定定理、确定函数的单调区间、极值、凹凸区间和 拐点，画出函数的性态表
4 题理性思考，严谨踏实，求真务实。 （二）教学内容 第一节 微分中值定理（《数学分析（I）》） 1．主要内容 函数极值与费马引理、 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理、单调函数、柯西中值 定理。 2．基本概念和知识点 函数极值与费马引理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、函数单调性判定定理、 柯西中值定理。 3．问题与应用（能力要求） 熟练掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件、结论和证明方法。会用导数 判别函数的单调性，能用中值定理解决一些证明问题。了解柯西中值定理。 第二节 洛必达法则（《数学分析（II）》） 1．主要内容 洛必达法则。 2．基本概念和知识点 不定式极限、洛必达法则的使用。 3．问题与应用（能力要求） 掌握用洛必达法则求各种不定式极限。 第三节 泰勒公式和插值多项式（《数学分析（II）》） 1．主要内容 带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、在近似计算上的应用。 2．基本概念和知识点 带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的 应用。 3．问题与应用（能力要求） 了解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，熟记六个常见 函数的麦克劳林公式。 第四节 应用举例（《数学分析（II）》） 1．主要内容 极值判别、最大值与最小值、函数的凸性与拐点、作函数图象。 2．基本概念和知识点 函数极值的第一、二、三充分条件、函数的极值和最值的求法、凹凸函数及判定 定理、詹森不等式、拐点、拐点判定定理、确定函数的单调区间、极值、凹凸区间和 拐点，画出函数的性态表
3.问题与应用（能力要求） 掌握函数极值的第一 二充分条件和极值的计算：会求闭区间上连续函数的最值 及其应用。掌握函数的凸性与拐点的概念及相关判定定理，应用函数的凸性证明不等 式，运用詹森不等式证明或构造不等式。教会学生根据函数的性态表，以及函数的单 调区间、凹凸区间，大致描绘函数图象。 (三)思考与实践 本章内容是一元函数微分学的应用部分，熟练运用导数方法判断函数的形态是学 生必须掌握的重要内容，通过练习理解和掌握微分中值定理的相关证明及泰勒公式的 应用。 (四)教学方法与手段 本章所讲中值定理是利用数学理论解决实际问题的桥梁。学生普遍觉得数学分析 的理论抽象，且用处不大，可通过选择与实际应用密切相关的问题，让学生自己来解 决，使他们体会到数学理论在应用方面的巨大威力，增强学习的积极性和主动性。 第七章数列极限 (一)目的与要求 1.理解确界的概念，掌握确界原理 2.了解区间套定理、柯西收敛准则，聚点定理和有限覆盖定理：了解实 数完备性基本定理的等价性 3.极限如同我们最初的理想，过程要不忘初心，砥砺前行，精益求精， 无限接近，方得始终。 4.培养学生勇于探索真理，求真务实的精神。 (二)教学内容 第一节实数系的连续性 1.主要内容 实数与数轴、有界集、确界原理。 2.基本概念和知识点 实数、数轴、上界、下界、有界集、无界集、上确界、下确界、确界、确界原理、 推广的确界原理。 3.问题与应用（能力要求） 掌握上、下确界概念和确界原理。 第二节收敛准则一实数完备性的基本定理 1.主要内容 单调数列、单调有界定理、区间套定理与柯西收敛准则、聚点定理与有限覆盖定 理。 5
5 3．问题与应用（能力要求） 掌握函数极值的第一、二充分条件和极值的计算；会求闭区间上连续函数的最值 及其应用。掌握函数的凸性与拐点的概念及相关判定定理，应用函数的凸性证明不等 式，运用詹森不等式证明或构造不等式。教会学生根据函数的性态表，以及函数的单 调区间、凹凸区间，大致描绘函数图象。 （三）思考与实践 本章内容是一元函数微分学的应用部分，熟练运用导数方法判断函数的形态是学 生必须掌握的重要内容，通过练习理解和掌握微分中值定理的相关证明及泰勒公式的 应用。 （四）教学方法与手段 本章所讲中值定理是利用数学理论解决实际问题的桥梁。学生普遍觉得数学分析 的理论抽象，且用处不大，可通过选择与实际应用密切相关的问题，让学生自己来解 决，使他们体会到数学理论在应用方面的巨大威力，增强学习的积极性和主动性。 第七章 数列极限 （一）目的与要求 1．理解确界的概念，掌握确界原理。 2．了解区间套定理、柯西收敛准则，聚点定理和有限覆盖定理；了解实 数完备性基本定理的等价性。 3. 极限如同我们最初的理想，过程要不忘初心，砥砺前行，精益求精， 无限接近，方得始终。 4.培养学生勇于探索真理，求真务实的精神。 （二）教学内容 第一节 实数系的连续性 1．主要内容 实数与数轴、有界集、确界原理。 2．基本概念和知识点 实数、数轴、上界、下界、有界集、无界集、上确界、下确界、确界、确界原理、 推广的确界原理。 3．问题与应用（能力要求） 掌握上、下确界概念和确界原理。 第二节 收敛准则—实数完备性的基本定理 1．主要内容 单调数列、单调有界定理、区间套定理与柯西收敛准则、聚点定理与有限覆盖定 理