《数学分析(1)》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16014004 课程名称：数学分析(1) 英文名称：Mathematical Analysis) 课程类别：学科基础课 时：64 学分：4 适用对象：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业 考核方式：考试 先修课程：无 二、课程简介 中文简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于17世纪，直到19世纪末及20世 纪初才发展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。数学分析课 是各类大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。是进 步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、计算方法、实变函数与泛函分析等 后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生的必考基础基础课之一。 本课程基本内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元函数微积分 学等方面的系统知识，用现代数学工具一一极限的思想与方法研究函数的分析特性-一 连续性、可微性、可积性。极限方法是贯穿于全课程的主线。课程的目的是通过三个 学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从 事进一步学习所需的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学 思维素质，提高学生分析与解决问题的能力。 英文简介：Mathematical analysis,,commonly known as"calculus”,was founded in seventeenth Century,until the late nineteenth Century and early twentieth Century to develop into a complete theoretical system,rich content,a very wide range of applied mathematics.The course of mathematical analysis is the most important professional basic course for all kinds of college students majoring in mathematics and applied mathematics and information and computing science.he step is to further study the complex function,differential equations,differential geometry,probability theory,calculation method, real variable function and functional analysis of the course of the study, is the master of mathematics class students compulsory basic course of
1 《数学分析（I）》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16014004 课程名称：数学分析（I） 英文名称：Mathematical Analysis (I) 课程类别：学科基础课 学 时：64 学 分：4 适用对象:数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业 考核方式：考试 先修课程：无 二、课程简介 中文简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于 17 世纪，直到 19 世纪末及 20 世 纪初才发展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。数学分析课 是各类大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。是进一 步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、计算方法、实变函数与泛函分析等 后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生的必考基础基础课之一。 本课程基本内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元函数微积分 学等方面的系统知识，用现代数学工具---极限的思想与方法研究函数的分析特性--- 连续性、可微性、可积性。极限方法是贯穿于全课程的主线。课程的目的是通过三个 学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从 事进一步学习所需的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学 思维素质，提高学生分析与解决问题的能力。 英文简介：Mathematical analysis, commonly known as "calculus", was founded in seventeenth Century, until the late nineteenth Century and early twentieth Century to develop into a complete theoretical system, rich content, a very wide range of applied mathematics. The course of mathematical analysis is the most important professional basic course for all kinds of college students majoring in mathematics and applied mathematics and information and computing science. he step is to further study the complex function, differential equations, differential geometry, probability theory, calculation method, real variable function and functional analysis of the course of the study, is the master of mathematics class students compulsory basic course of
foundation. The basic contents of this course are:the system of knowledge limit theory, a function calculus,series theory,multiplex function calculus,research ideas and methods of modern mathematical function with limit analysis tools -Characteristics-continuity and differentiability and integrability.Limit method is the main line that runs through the whole curriculum.The purpose of this course is to train the three semester through mathematics learning and system,to improve students'mathematics accomplishment,especially the analysis of cultivation,accumulation of engaged in further study of mathematical knowledge required,master the basic ideas and methods of mathematics,cultivation and training of students'mathematical thinking ability,improve the students ability to analyze and solve problems. 三、课程性质与教学目的 《数学分析》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的最重要的专业基础 课和核心必修课。本课程理论严谨、系统性强。通过本课程的学习，要使学生掌握数 学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数 学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力， 具备熟练的运算能力和技巧，提高建立数学模型，并应用微积分学这一工具解决实 际应用问题的能力，为今后从事基础数学和应用数学方面的研究打下扎实的理论基 础。 本课程教学目的与要求： 了解微积分学的基础理论：充分理解微积分学的历史背景及数学思想。掌握微积 分学的基本理论，方法和技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能 较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。 围绕全面提高人才培养能力这个核心点，在价值塑造、知识传授、能力培养“三 位一体”的人才培养目标中，补齐价值塑造这块短板，寓价值观引导于知识传授和能 力培养之中，帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观。 1.重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展。在 教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景。 2
2 foundation. The basic contents of this course are: the system of knowledge limit theory, a function calculus, series theory, multiplex function calculus, research ideas and methods of modern mathematical function with limit analysis tools - Characteristics - continuity and differentiability and integrability. Limit method is the main line that runs through the whole curriculum. The purpose of this course is to train the three semester through mathematics learning and system, to improve students' mathematics accomplishment, especially the analysis of cultivation, accumulation of engaged in further study of mathematical knowledge required, master the basic ideas and methods of mathematics, cultivation and training of students' mathematical thinking ability, improve the students' ability to analyze and solve problems. 三、课程性质与教学目的 《数学分析》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的最重要的专业基础 课和核心必修课。本课程理论严谨、系统性强。通过本课程的学习，要使学生掌握数 学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数 学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力， 具备熟练的运算能力和技巧， 提高建立数学模型， 并应用微积分学这一工具解决实 际应用问题的能力，为今后从事基础数学和应用数学方面的研究打下扎实的理论基 础。 本课程教学目的与要求： 了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的历史背景及数学思想。掌握微积 分学的基本理论， 方法和技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能 较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。 围绕全面提高人才培养能力这个核心点，在价值塑造、知识传授、能力培养“三 位一体”的人才培养目标中，补齐价值塑造这块短板，寓价值观引导于知识传授和能 力培养之中，帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观。 1． 重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展。在 教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景
2.重视相关知识的整合，将一元函数与多元函数的极限，连续及求导（微分）整合， 将不定积分与定积分的计算方法整合，将重积分和线面积分整合，将反常级数与反 常积分的收敛性整合，将函数列，函数项级数和含参量反常积分的一致收敛性整合。 3.除体现本课程严格的逻辑体系外，要反映现代数学的发展趋势，吸收和采 用现代数学的思想观点与先进的处理方法。 4.为了提高学生的数学修养，应重视基本定理的论证。用ε-6的思想贯穿于极 限的存在性，定积分的存在性，（一致）收敛性及（一致）连续性等理论的论证中。 5.以课堂教学为主，重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用。 6.重视实数理论体系对学习微积分学理论和建立现代数学观点的不可或缺的作 用。 7.紧紧围绕坚定学生理想信念，以爱党、爱国、爱社会主义、爱人民、爱集体 为主线，围绕政治认同、家国情怀、文化素养、宪法法治意识、道德修养等重点优化 课程思政内容供给，系统进行中国特色社会主义和中国梦教育、社会主义核心价值观 教育、法治教育、劳动教育、心理健康教育、中华优秀传统文化教育。 四、教学内容及要求 第一章集合与映射 (一)目的与要求 1.理解集合、可列集与映射的概念，掌握实数集合的表示法。 2.掌握函数概念、其某些特殊性质及两个常用不等式，熟记几个特殊的 函数：符号函数、取整函数、狄利克宙函数。 3.了解集合的运算及可列集相关结论。 4.介绍罗素悖论，引发学生探究知识的欲望。 5.《庄子·天下篇》里记载的名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 引入数列的概念，引导学生关注数列的变化趋势。介绍魏晋时期数学 家刘徽的割圆术，南北朝时期的祖冲之对圆周率的研究，激发学生民族 自豪感 6.,引导学生分析复利模型，完成对第二重要极限的探究，并将其迁移到 实际问题中，如“谨慎投资，警惕网贷”。 (二)教学内容 第一节集合 1.主要内容
3 2． 重视相关知识的整合，将一元函数与多元函数的极限，连续及求导(微分)整合， 将不定积分与定积分的计算方法整合，将重积分和线面积分整合， 将反常级数与反 常积分的收敛性整合， 将函数列， 函数项级数和含参量反常积分的一致收敛性整合。 3． 除体现本课程严格的逻辑体系外， 要反映现代数学的发展趋势， 吸收和采 用现代数学的思想观点与先进的处理方法。 4．为了提高学生的数学修养，应重视基本定理的论证。用ε-δ的思想贯穿于极 限的存在性，定积分的存在性，(一致)收敛性及(一致)连续性等理论的论证中。 5．以课堂教学为主， 重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用。 6．重视实数理论体系对学习微积分学理论和建立现代数学观点的不可或缺的作 用。 7．紧紧围绕坚定学生理想信念，以爱党、爱国、爱社会主义、爱人民、爱集体 为主线，围绕政治认同、家国情怀、文化素养、宪法法治意识、道德修养等重点优化 课程思政内容供给，系统进行中国特色社会主义和中国梦教育、社会主义核心价值观 教育、法治教育、劳动教育、心理健康教育、中华优秀传统文化教育。 四、教学内容及要求 第一章 集合与映射 （一）目的与要求 1．理解集合、可列集与映射的概念，掌握实数集合的表示法。 2．掌握函数概念、其某些特殊性质及两个常用不等式，熟记几个特殊的 函数：符号函数、取整函数、狄利克雷函数。 3．了解集合的运算及可列集相关结论。 4．介绍罗素悖论，引发学生探究知识的欲望。 5．《庄子·天下篇》里记载的名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 引入数列的概念，引导学生关注数列的变化趋势。介绍魏晋时期数学 家刘徽的割圆术，南北朝时期的祖冲之对圆周率的研究，激发学生民族 自豪感。 6. .引导学生分析复利模型，完成对第二重要极限的探究，并将其迁移到 实际问题中，如“谨慎投资，警惕网贷”。 （二）教学内容 第一节 集合 1．主要内容
集合、集合运算、有限集与无限集、Descartes乘积集合。 2.基本概念和知识点 有理数、无理数、实数、（真）子集、集合的交、并、补、差、集合的交换律、 结合律、分配律、对偶律、有限集、无限集、可列集、Descartes乘积集合。 3.问题与应用 堂据集合的性质，会用可列集的概念 第二节映射与函数 1.主要内容 映射、一元实函数、初等函数、函数的表示、函数的简单性质、两个常用不等式。 2.基本概念和知识点 映射、单射、满射、双射、逆映射、复合映射、函数概念、函数概念、函数的几 种表示法（解析法、列表法和图像法，其中包括分段函数、符号函数、狄利克雷函数、 取整函数等)、函数的四则运算、复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数、非 初等函数。有上（下）界函数、有界函数、增（减）函数、严格增（减）函数、单调 函数、严格单调函数、奇函数、偶函数、周期、基本周期、周期函数、反函数存在定 3.问题与应用（能力要求） 掌握函数概念，并能熟练地运用分段函数、将一个复合函数分解成几个基本初等 函数，熟记几个特殊的函数：符号函数、狄利克雷函数、取整函数。掌握有界函数、 单调函数、严格单调函数、奇函数、偶函数、周期函数等基本概念，并能熟练地进行 相关计算，掌握反函数存在定理。掌握两个常用不等式。 (三)思考与实践 本章内容多为初等数学内容，可列集概念、反函数存在定理与两个常用不等式的 证明是本章难点。 (四)教学方法与手段 本课程教学以讲授为主，辅以多媒体教学、习题课和学生自学。基本内容由教师 讲授，通过习题课对所学内容进行巩固和提高，其余部分（主要是*号部分）引导学 生自学完成。初学高等数学的学生会有很多的不适应，教师教学中要注意加强对学生 学习方法的指导和课外辅导。由于本课程具有很强的几何背景，因此教学中要注意与 几何直观相结合，注重理论联系实际，逐步推广使用多媒体教学手段。由于本课程与 应用数学关系密切，可适当配置数学实验课以提高学生学习数学的兴趣和利用数学知 识解决实际问题的应用能力。 第二章数列极限 (一)目的与要求 1.理解确界的概念，掌握确界原理。 4
4 集合、集合运算、有限集与无限集、Descartes 乘积集合。 2.基本概念和知识点 有理数、无理数、实数、（真）子集、集合的交、并、补、差、集合的交换律、 结合律、分配律、对偶律、有限集、无限集、可列集、Descartes 乘积集合。 3.问题与应用 掌握集合的性质，会用可列集的概念。 第二节 映射与函数 1．主要内容 映射、一元实函数、初等函数、函数的表示、函数的简单性质、两个常用不等式。 2.基本概念和知识点 映射、单射、满射、双射、逆映射、复合映射、函数概念、函数概念、函数的几 种表示法（解析法、列表法和图像法，其中包括分段函数、符号函数、狄利克雷函数、 取整函数等）、函数的四则运算、复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数、非 初等函数。有上（下）界函数、有界函数、增（减）函数、严格增（减）函数、单调 函数、严格单调函数、奇函数、偶函数、周期、基本周期、周期函数、反函数存在定 理。 3.问题与应用（能力要求） 掌握函数概念，并能熟练地运用分段函数、将一个复合函数分解成几个基本初等 函数，熟记几个特殊的函数：符号函数、狄利克雷函数、取整函数。掌握有界函数、 单调函数、严格单调函数、奇函数、偶函数、周期函数等基本概念，并能熟练地进行 相关计算，掌握反函数存在定理。掌握两个常用不等式。 （三）思考与实践 本章内容多为初等数学内容，可列集概念、反函数存在定理与两个常用不等式的 证明是本章难点。 （四）教学方法与手段 本课程教学以讲授为主，辅以多媒体教学、习题课和学生自学。基本内容由教师 讲授，通过习题课对所学内容进行巩固和提高，其余部分〔主要是*号部分〕引导学 生自学完成。初学高等数学的学生会有很多的不适应，教师教学中要注意加强对学生 学习方法的指导和课外辅导。由于本课程具有很强的几何背景，因此教学中要注意与 几何直观相结合，注重理论联系实际，逐步推广使用多媒体教学手段。由于本课程与 应用数学关系密切，可适当配置数学实验课以提高学生学习数学的兴趣和利用数学知 识解决实际问题的应用能力。 第二章 数列极限 （一）目的与要求 1．理解确界的概念，掌握确界原理
2,理解并熟练掌握数列极限的概念、性质，收敛数列与无穷小数列之间 的关系，掌握数列极限存在的条件。 3.掌握求极限的基本方法，会用定义证明数列极限 4.会用Cauchy准则证明相关问题。 5.极限如同我们最初的理想，过程要不忘初心，砥砺前行，精益求精， 无限接近，方得始终。 (二)教学内容 第一节实数系的连续性 1.主要内容 实数与数轴、有界集、确界原理。 2.基本概念和知识点 实数、数轴、上界、下界、有界集、无界集、上确界、下确界、确界、确界原理、 推广的确界原理。 3.问题与应用（能力要求） 掌握上、下确界概念和确界原理。 第二节数列极限 1.主要内容 数列极限的定义与几何意义 收敛数列与无穷小数列之间的关系。收敛数列的性 质、四则运算法则、收敛数列与非平凡子列的关系。 2.基本概念和知识点 数列极限的6-N定义与几何意义。收敛、发散数列与无穷小数列，收敛数列与 无穷小数列之间的关系。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、 迫敛性。收敛数列的四则运算法则、数列的子列、收敛数列与非平凡子列的关系。 3.问题与应用（能力要求） 掌握极限的定义，能用定义证明一些数列的极限。掌握收敛数列与无穷小数列之 间的关系。掌握收敛数列的性质、四则运算法则，并能熟练地运用极限运算法则进行 计算。理解数列的子列、收敛数列与非平凡子列的关系定理。 第三节无穷大量 1.主要内容 无穷大量、无穷大量与无穷小量的关系、Stolz定理 2.基本概念和知识点 无穷大量、待定型、无穷大量与无穷小量的关系、Stolz定理。 3.问题与应用（能力要求） 掌握无穷大量与无穷小量的关系及Stolz定理 第四节收敛准则 1.主要内容
5 2．理解并熟练掌握数列极限的概念、性质，收敛数列与无穷小数列之间 的关系，掌握数列极限存在的条件。 3．掌握求极限的基本方法，会用定义证明数列极限。 4．会用 Cauchy 准则证明相关问题。 5．极限如同我们最初的理想，过程要不忘初心，砥砺前行，精益求精， 无限接近，方得始终。 （二）教学内容 第一节 实数系的连续性 1．主要内容 实数与数轴、有界集、确界原理。 2．基本概念和知识点 实数、数轴、上界、下界、有界集、无界集、上确界、下确界、确界、确界原理、 推广的确界原理。 3．问题与应用（能力要求） 掌握上、下确界概念和确界原理。 第二节 数列极限 1．主要内容 数列极限的定义与几何意义、收敛数列与无穷小数列之间的关系。收敛数列的性 质、四则运算法则、收敛数列与非平凡子列的关系。 2．基本概念和知识点 数列极限的 −N 定义与几何意义。收敛、发散数列与无穷小数列，收敛数列与 无穷小数列之间的关系。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、 迫敛性。收敛数列的四则运算法则、数列的子列、收敛数列与非平凡子列的关系。 3．问题与应用（能力要求） 掌握极限的定义，能用定义证明一些数列的极限。掌握收敛数列与无穷小数列之 间的关系。掌握收敛数列的性质、四则运算法则，并能熟练地运用极限运算法则进行 计算。理解数列的子列、收敛数列与非平凡子列的关系定理。 第三节 无穷大量 1．主要内容 无穷大量、无穷大量与无穷小量的关系、Stolz 定理。 2．基本概念和知识点 无穷大量、待定型、无穷大量与无穷小量的关系、Stolz 定理。 3．问题与应用（能力要求） 掌握无穷大量与无穷小量的关系及 Stolz 定理。 第四节 收敛准则 1．主要内容