《数学分析（1)》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：6027305 课程名称：数学分析() 英文名称：Mathematical Analysis(II) 程类别：学科基础课 学 时：80 学 分分：5 适用对象：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业 考核方式：考试 先修课程：数学分析(1)（Ⅱ） 二、课程简介 中文简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于17世纪，直到19世纪末及20世 纪初才发展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。数学分析课 是各类大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。是进 步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、计算方法、实变函数与泛函分析等 后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生的必考基础基础课之一。 本课程基本内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元函数微积分 学等方面的系统知识，用现代数学工具一一极限的思想与方法研究函数的分析特性- 连续性、可可微性、可积性。极限方法是贯穿千全课程的主线。课程的目的是诵时三个 学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从 事进一步学习所需的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学 思维素质，提高学生分析与解决问题的能力。 英文简介：Mathematical analysis,.commonly known as"calculus”,was founded in seventeenth Century,until the late nineteenth Century and early twentieth Century to develop into a complete theoretical system,rich content,a very wide range of applied mathematics.The course of mathematical analysis is the most important professional basic course for all kinds of college students majoring in mathematics and applied mathematics and information and computing science.he step is to further study the complex function,differential equations,differential geometry,probability theory,calculation method, real variable function and functional analysis of the course of the study, is the master of mathematics class students compulsory basic course of 1
1 《 数学分析（III）》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：6027305 课程名称：数学分析（III） 英文名称：Mathematical Analysis (III) 课程类别：学科基础课 学 时：80 学 分：5 适用对象:数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业 考核方式：考试 先修课程：数学分析（I）（II） 二、课程简介 中文简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于 17 世纪，直到 19 世纪末及 20 世 纪初才发展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。数学分析课 是各类大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。是进一 步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、计算方法、实变函数与泛函分析等 后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生的必考基础基础课之一。 本课程基本内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元函数微积分 学等方面的系统知识，用现代数学工具---极限的思想与方法研究函数的分析特性--- 连续性、可微性、可积性。极限方法是贯穿于全课程的主线。课程的目的是通过三个 学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从 事进一步学习所需的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学 思维素质，提高学生分析与解决问题的能力。 英文简介：Mathematical analysis, commonly known as "calculus", was founded in seventeenth Century, until the late nineteenth Century and early twentieth Century to develop into a complete theoretical system, rich content, a very wide range of applied mathematics. The course of mathematical analysis is the most important professional basic course for all kinds of college students majoring in mathematics and applied mathematics and information and computing science. he step is to further study the complex function, differential equations, differential geometry, probability theory, calculation method, real variable function and functional analysis of the course of the study, is the master of mathematics class students compulsory basic course of
foundation. The basic contents of this course are:the system of knowledge limit theory, a function calculus,series theory,multiplex function calculus,research ideas and methods of modern mathematical function with limit analysis tools -Characteristics-continuity and differentiability and integrability.Limit method is the main line that runs through the whole curriculum.The purpose of this course is to train the three semester through mathematics learning and system.to improve students'mathematics accomplishment,especially the analysis of cultivation,accumulation of engaged in further study of mathematical knowledge required,master the basic ideas and methods of mathematics,cultivation and training of students'mathematical thinking ability,improve the students'ability to analyze and solve problems. 三、课程性质与教学目的 《数学分析》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的最重要的专业基础 课和核心必修课。本课程理论严谨、系统性强。通过本课程的学习，要使学生掌握数 学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数 学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力， 具备熟练的运算能力和技巧，提高建立数学模型，并应用微积分学这一工具解决实 际应用问题的能力，为今后从事基础数学和应用数学方面的研究打下扎实的理论基 础。 本课程教学目的与要求： 了解微积分学的基础理论：充分理解微积分学的历史背景及数学思想。掌握微积 分学的基本理论，方法和技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能 较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。 围绕全面提高人才培养能力这个核心点，在价值塑造、知识传授、能力培养“三 位一体”的人才培养目标中，补齐价值塑造这块短板，寓价值观引导于知识传授和能 力培养之中，帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观。 1.重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展。在 教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景。 2
2 foundation. The basic contents of this course are: the system of knowledge limit theory, a function calculus, series theory, multiplex function calculus, research ideas and methods of modern mathematical function with limit analysis tools - Characteristics - continuity and differentiability and integrability. Limit method is the main line that runs through the whole curriculum. The purpose of this course is to train the three semester through mathematics learning and system, to improve students' mathematics accomplishment, especially the analysis of cultivation, accumulation of engaged in further study of mathematical knowledge required, master the basic ideas and methods of mathematics, cultivation and training of students' mathematical thinking ability, improve the students' ability to analyze and solve problems. 三、课程性质与教学目的 《数学分析》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的最重要的专业基础 课和核心必修课。本课程理论严谨、系统性强。通过本课程的学习，要使学生掌握数 学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数 学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力， 具备熟练的运算能力和技巧， 提高建立数学模型， 并应用微积分学这一工具解决实 际应用问题的能力，为今后从事基础数学和应用数学方面的研究打下扎实的理论基 础。 本课程教学目的与要求： 了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的历史背景及数学思想。掌握微积 分学的基本理论， 方法和技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能 较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。 围绕全面提高人才培养能力这个核心点，在价值塑造、知识传授、能力培养“三 位一体”的人才培养目标中，补齐价值塑造这块短板，寓价值观引导于知识传授和能 力培养之中，帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观。 1． 重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展。在 教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景
2.重视相关知识的整合，将一元函数与多元函数的极限，连续及求导（微分）整合， 将不定积分与定积分的计算方法整合，将重积分和线面积分整合，将反常级 数与反常积分的收敛性整合，将函数列，函数项级数和含参量反常积分的一致 收敛性整合。 3.除体现本课程严格的逻辑体系外，要反映现代数学的发展趋势，吸收和采 用现代数学的思想观点与先进的处理方法。 4.为了提高学生的数学修养，应重视基本定理的论证。用ε-6的思想贯穿于极 限的存在性，定积分的存在性，（一致）收敛性及（一致）连续性等理论的论证中。 5.以课堂教学为主，重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用。 6.重视实数理论体系对学习微积分学理论和建立现代数学观点的不可或缺的作 用。 7.紧紧围绕坚定学生理想信念，以爱党、爱国、爱社会主义、爱人民、爱集体 为主线，围绕政治认同、家国情怀、文化素养、宪法法治意识、道德修养等重点优化 课程思政内容供给，系统进行中国特色社会主义和中国梦教育、社会主义核心价值观 教育、法治教育、劳动教育、心理健康教育、中华优秀传统文化教育。 四、教学内容及要求 第十一章Euclid空间上的极限和连续 (一)目的与要求 1.掌握平面点集的有关概念。 2.了解二元函数的几何意义，熟练掌握二元函数的极限，搞清重极限与 累次极限之间的关系。 3.理解二元函数的连续性，掌握有界闭区域上连续函数的性质。 4.鼓励学生自己总结一元函数与多元函数的异同，从中感受到学习的乐 取。 5.用回忆、对比的方式找出一元函数和二元函数之间相似之处和不同之 处，激发学生探索新知识的兴趣和欲望。 (二)教学内容 第一节平面点集与多元函数 1.主要内容 平面点集、R2上的完备性定理、二元函数、n元函数。 3
3 2。 重视相关知识的整合，将一元函数与多元函数的极限，连续及求导(微分)整合， 将不定积分与定积分的计算方法整合，将重积分和线面积分整合， 将反常级 数与反常积分的收敛性整合，将函数列，函数项级数和含参量反常积分的一致 收敛性整合。 3． 除体现本课程严格的逻辑体系外， 要反映现代数学的发展趋势， 吸收和采 用现代数学的思想观点与先进的处理方法。 4．为了提高学生的数学修养，应重视基本定理的论证。用ε-δ的思想贯穿于极 限的存在性，定积分的存在性，(一致)收敛性及(一致)连续性等理论的论证中。 5．以课堂教学为主， 重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用。 6．重视实数理论体系对学习微积分学理论和建立现代数学观点的不可或缺的作 用。 7. 紧紧围绕坚定学生理想信念，以爱党、爱国、爱社会主义、爱人民、爱集体 为主线，围绕政治认同、家国情怀、文化素养、宪法法治意识、道德修养等重点优化 课程思政内容供给，系统进行中国特色社会主义和中国梦教育、社会主义核心价值观 教育、法治教育、劳动教育、心理健康教育、中华优秀传统文化教育。 四、教学内容及要求 第十一章 Euclid 空间上的极限和连续 （一）目的与要求 1．掌握平面点集的有关概念。 2．了解二元函数的几何意义，熟练掌握二元函数的极限，搞清重极限与 累次极限之间的关系。 3．理解二元函数的连续性，掌握有界闭区域上连续函数的性质。 4. 鼓励学生自己总结一元函数与多元函数的异同，从中感受到学习的乐 趣。 5. 用回忆、对比的方式找出一元函数和二元函数之间相似之处和不同之 处，激发学生探索新知识的兴趣和欲望。 （二）教学内容 第一节 平面点集与多元函数 1．主要内容 平面点集、 2 R 上的完备性定理、二元函数、n 元函数
2.基本概念和知识点 平面点集、圆（方）邻域、内点、外点、界点、边界、聚点、开集、闭集、开 域、闭域、区域、有界（无界）点集、柯西准则、闭域套定理、聚点定理、二元函数、 n元函数。 3.问题与应用（能力要求） 了解平面中的邻域、开集、闭集、开域、闭域的定义，R的完备性，掌握二元及 多元函数的定义。 第二节 二元函数的极限 1.主要内容 二元函数的极限、累次极限。 2.基本概念和知识点 二元函数的极限定义、累次极限。 3.问题与应用（能力要求） 掌握二元函数的极限定义，理解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限 存在性的基本方法。 第三节二元函数的连续性 1.主要内容 二元函数的连续性概念、有界闭域上连续函数的性质。 2.基本概念和知识点 二元函数的连续性的定义、间断点、全增量、偏增量、复合函数的连续性。有界 闭域上连续函数的有界性、最大最小值定理、介值性定理和一致连续性定理。 3.问题与应用（能力要求） 掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质 (三)思考与实践 本章是在一元函数的基础上引入多元函数、极限及连续的概念及性质，通过类比 学习的方法可很好地理解相关教学内容。 (四)教学方法与手段 改变传统的直陈式讲授，采用分解式、前后呼应等讲授方法。指导学生对比一元 函数定义、极限、连续性与多元函数的联系与区别，教会他们通过类比掌握多元函数 的相关内容，化解课程学习中的难点，提高教学效果。 第十二章多元函数的微分学 (一)目的与要求 1.熟练掌握二元（多元）函数的偏导数与全微分的定义，搞清二元（多 元)函数的可导、可微、连续以及偏导数与连续性之间的关系，熟练掌握 4
4 2．基本概念和知识点 平面点集、圆（方）邻域、内点、外点、界点、边界、聚点、开集、闭集、开 域、闭域、区域、有界（无界）点集、柯西准则、闭域套定理、聚点定理、二元函数、 n 元函数。 3．问题与应用（能力要求） 了解平面中的邻域、开集、闭集、开域、闭域的定义， 2 R 的完备性，掌握二元及 多元函数的定义。 第二节 二元函数的极限 1．主要内容 二元函数的极限、累次极限。 2．基本概念和知识点 二元函数的极限定义、累次极限。 3．问题与应用（能力要求） 掌握二元函数的极限定义，理解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限 存在性的基本方法。 第三节 二元函数的连续性 1．主要内容 二元函数的连续性概念、有界闭域上连续函数的性质。 2．基本概念和知识点 二元函数的连续性的定义、间断点、全增量、偏增量、复合函数的连续性。有界 闭域上连续函数的有界性、最大最小值定理、介值性定理和一致连续性定理。 3．问题与应用（能力要求） 掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质。 （三）思考与实践 本章是在一元函数的基础上引入多元函数、极限及连续的概念及性质，通过类比 学习的方法可很好地理解相关教学内容。 （四）教学方法与手段 改变传统的直陈式讲授，采用分解式、前后呼应等讲授方法。指导学生对比一元 函数定义、极限、连续性与多元函数的联系与区别，教会他们通过类比掌握多元函数 的相关内容，化解课程学习中的难点，提高教学效果。 第十二章 多元函数的微分学 （一）目的与要求 1．熟练掌握二元（多元）函数的偏导数与全微分的定义，搞清二元（多 元）函数的可导、可微、连续以及偏导数与连续性之间的关系，熟练掌握
复合函数的求导法则。 2.掌握可微的条件、高阶偏导数、中值定理及泰勒公式，会求极值： 3.了解可微的几何意义、方向导数与梯度。 4.理解并掌握隐函数和隐函数组定理，会求隐函数的导数、平面曲线的 切线与法线、空间曲线的切线与法线、曲面的切平面与法线。 5.会求函数的无条件（条件）极值与最值。 6,反函数组与华标变换 7.结合一元函数导数的几何意义，利用“峰”和“龄”的不同含义，将 苏轼诗《题西林壁》切入到多元函数偏导数概念的引入和偏导数的几何意 义，以图改善教学手段，丰富授课方式并增加数学知识的人文气息。 8.个绍“以直代曲”思想在二元函数上的应用、培养科学发展观。 9.通过实例让学生感受到课程的广泛应用前景，激发学生学习的兴趣。 10.介绍德国杰出的天文学家、物理学家、数学家开普勒的一生及其对行 星运动的三大定律的发现，说明科学就是发现。 11.比较两种设计方案的用料，说明市场上常见的易拉罐设计成圆柱体的 原因。通过该例来说明通过数学建模可为企业节省大量资源，以此激发学 生的学习兴趣和环境保护意识。 (二)教学内容 第一节偏导数与全微分 1.主要内容 可微性与全微分、偏导数、可微性条件、可微性几何意义及应用、方向导数与梯 度的定义及计算、高阶偏导数、高阶微分。 2.基本概念和知识点 可微、全微分、偏导数、可微的充分（必要）条件、可微性几何意义及应用二元、 方向导数与梯度的定义和计算公式、函数的高阶偏导数、高阶微分。 3.问题与应用（能力要求） 掌握偏导数、可微性、全微分定义，熟记可微的充要条件，并能熟练地求偏导数。 理解二元函数的偏导数存在、可微、连续之间的关系。掌握方向导数、梯度的定义 和计算公式。掌握二元函数的高阶偏导数的定义，会高阶导数的计算。 第二节多元复合函数的求导法则 .主要内容 复合函数的求导法则、复合函数的全微分。 2.基本概念和知识点 复合函数链式法则、复合函数的全微分、 一阶全微分形式不变性。 3.问题与应用（能力要求） 5
5 复合函数的求导法则。 2．掌握可微的条件、高阶偏导数、中值定理及泰勒公式，会求极值； 3．了解可微的几何意义、方向导数与梯度。 4．理解并掌握隐函数和隐函数组定理，会求隐函数的导数、平面曲线的 切线与法线、空间曲线的切线与法线、曲面的切平面与法线。 5．会求函数的无条件（条件）极值与最值。 6．反函数组与坐标变换。 7. .结合一元函数导数的几何意义，利用“峰”和“岭”的不同含义，将 苏轼诗《题西林壁》切入到多元函数偏导数概念的引入和偏导数的几何意 义，以图改善教学手段，丰富授课方式并增加数学知识的人文气息。 8. 介绍“以直代曲”思想在二元函数上的应用、培养科学发展观。 9. 通过实例让学生感受到课程的广泛应用前景，激发学生学习的兴趣。 10. 介绍德国杰出的天文学家、物理学家、数学家开普勒的一生及其对行 星运动的三大定律的发现，说明科学就是发现。 11. 比较两种设计方案的用料，说明市场上常见的易拉罐设计成圆柱体的 原因。通过该例来说明通过数学建模可为企业节省大量资源，以此激发学 生的学习兴趣和环境保护意识。 （二）教学内容 第一节 偏导数与全微分 1．主要内容 可微性与全微分、偏导数、可微性条件、可微性几何意义及应用、方向导数与梯 度的定义及计算、高阶偏导数、高阶微分。 2．基本概念和知识点 可微、全微分、偏导数、可微的充分（必要）条件、可微性几何意义及应用二元、 方向导数与梯度的定义和计算公式、函数的高阶偏导数、高阶微分。 3．问题与应用（能力要求） 掌握偏导数、可微性、全微分定义，熟记可微的充要条件，并能熟练地求偏导数。 理解二元函数的偏导数存在、可微、连续之间的关系。 掌握方向导数、梯度的定义 和计算公式。掌握二元函数的高阶偏导数的定义，会高阶导数的计算。 第二节 多元复合函数的求导法则 1．主要内容 复合函数的求导法则、复合函数的全微分。 2．基本概念和知识点 复合函数链式法则、复合函数的全微分、一阶全微分形式不变性。 3．问题与应用（能力要求）