《高等代数选讲》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16031703 课程名称：高等代数选讲 英文名称：Selected Topics in Advanced Algebra 课程类别：专业选修课 学 时： 48 学 分分：3 适用对象：数学与应用数学、信息科学、统计学等专业 老核方式：老试 先修课程：空间解析几何、高等代数 二、课程简介 中文简介：《高等代数选讲》是高等院校数学专业的一门重要的选修课，其主要 任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、 向量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知 识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛 函分析)提供一些所需的基础理论和知识。尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技 术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。《高 等代数》是中学代数的继续和提高。通过这一课程的教学，应使学生掌握为进一步提 高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，且对初等代数内容有比较深入的 了解，并能居高临下地处理中学数学的有关教材，培养学生独立思考、科学抽象思维、 正确的逻辑推断能力和迅速准确的运算能力，对开发学生智能、加强“三基”（基础 知识、基本理论、基本理论)及培养学生创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的 作用。 英文简介："Selected Topics in Advanced algebra"is an important basic course with specialized mathematics of the institutions of higher learning,its main task is to make students obtain the mathematical basic thought and theory of polynomial,determinant,system of inea equations,matrix theory.vector space and Euclidean space,linear transformation and unitary space.quadratic form,group.ring and introduction of domain knowledge of the system.On one hand it for subsequent courses (e.g.,modem algebra,number theory,discrete mathematics. computing methods,differential equations,functional analysis)to provide some basic theory and knowledge needed.Especially in this century,computer technology.communications
1 《高等代数选讲》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16031703 课程名称：高等代数选讲 英文名称：Selected Topics in Advanced Algebra 课程类别：专业选修课 学 时： 48 学 分： 3 适用对象: 数学与应用数学、信息科学、统计学等专业 考核方式：考试 先修课程：空间解析几何、高等代数 二、课程简介 中文简介：《高等代数选讲》是高等院校数学专业的一门重要的选修课，其主要 任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、 向量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知 识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛 函分析）提供一些所需的基础理论和知识。尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技 术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。《高 等代数》是中学代数的继续和提高。通过这一课程的教学，应使学生掌握为进一步提 高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，且对初等代数内容有比较深入的 了解，并能居高临下地处理中学数学的有关教材，培养学生独立思考、科学抽象思维、 正确的逻辑推断能力和迅速准确的运算能力，对开发学生智能、加强“三基”（基础 知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的 作用。 英文简介：" Selected Topics in Advanced algebra" is an important basic course with specialized mathematics of the institutions of higher learning, its main task is to make students obtain the mathematical basic thought and theory of polynomial, determinant, system of linear equations, matrix theory, vector space and Euclidean space, linear transformation and unitary space, quadratic form, group, ring and introduction of domain knowledge of the system. On one hand it for subsequent courses (e.g., modern algebra, number theory, discrete mathematics, computing methods, differential equations, functional analysis) to provide some basic theory and knowledge needed. Especially in this century, computer technology, communications
technology and modern biological engineering technology has become the most popular subject areas,the development of these disciplines are need algebra."Advanced algebra"is to continue and improve high school algebra.By teaching of this course.should enable students to master in order to further improve the level of professional knowledge necessary for basic theory and basic method of algebra,and have more in-depth knowledge of elementary algebra content,and can handle teaching material of middle school mathematics commanding.training students'independent thinking.scientific abstract thought.correct logic inference ability and operation ability.quickly and accurately to develop students'intelligence,strengthen"3 basic" (basic knowledge,basic theory.basic theory).and to cultivate students'creative ability.set up has an important role in the dialectical materialist point of view. 三、课程性质与教学目的 (一)课程性质： 通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认 识，提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力：使学生初步地掌握基本的、系 统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解：使学生能应 用代数思想和方法去理解与处理有关的问题，培养与提高代数的理论分析问题与解 决问题的能力：使学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、 偏微分方程、泛函分析等)提供一些所需要的基础理论和知识：使学生在智能开发 创新能力培养等方面获得重要的平台。 (二)教学目的： 《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之 ,是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学 基础课。讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握 代数中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧，提高分析问题、解 决问题的能力，为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。 四、教学内容及要求 第一章多项式 (一）目的与要求： 整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约 多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k重因式与k重根的关系、复（实）系 数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。 2
2 technology and modern biological engineering technology has become the most popular subject areas, the development of these disciplines are need algebra. "Advanced algebra" is to continue and improve high school algebra. By teaching of this course, should enable students to master in order to further improve the level of professional knowledge necessary for basic theory and basic method of algebra, and have more in-depth knowledge of elementary algebra content, and can handle teaching material of middle school mathematics commanding, training students' independent thinking, scientific abstract thought, correct logic inference ability and operation ability, quickly and accurately to develop students' intelligence, strengthen "3 basic" (basic knowledge, basic theory, basic theory), and to cultivate students' creative ability, set up has an important role in the dialectical materialist point of view. 三、课程性质与教学目的 （一）课程性质： 通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认 识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系 统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应 用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解 决问题的能力；使学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、 偏微分方程、泛函分析等）提供一些所需要的基础理论和知识；使学生在智能开发、 创新能力培养等方面获得重要的平台。 （二） 教学目的： 《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之 一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学 基础课。讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握 代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解 决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。 四、教学内容及要求 第一章 多项式 (一)目的与要求： 整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约 多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k 重因式与 k 重根的关系、复（实）系 数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein 判别法
(二)教学内容 第一节 1.主要内容：数域 2.基本概念和知识点：数域。 3.问题与应用：掌握数域的定义，并会判断一个代数系统是否是数域。 第二节 1.主要内容：一元多项式 2 基本概念和知识点：一元多项式 3.问题与应用：正确理解数域P上一元多项式的定义，多项式相乘，次数，一元 多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算规律。 第三节 1.主要内容：整除的概念 2.基本概念和知识点：整除，因式，倍式 3. 问题与应用：正确理解整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。 第四节 1.主要内容：最大公因式 2. 基本概念和知识点：最大公因式、互素 3.问题与应用：正确理解和掌握两个（或若干个）多项式的最大公因式，互素 等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。 第五节 1.主要内容：因式分解定理。 2. 基本概念和知识点：因式分解定理 3.问题与应用：正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握 因式分解及唯一性定理。掌握多项式的标准分解式。 第六节 1.主要内容：重因式。 2. 基本概念和知识点：重因式 3.问题与应用：正确理解和掌握k重因式的定义。 3
3 （二）教学内容 第一节 1. 主要内容：数域 2. 基本概念和知识点：数域。 3. 问题与应用：掌握数域的定义, 并会判断一个代数系统是否是数域。 第二节 1． 主要内容：一元多项式 2． 基本概念和知识点：一元多项式 3． 问题与应用： 正确理解数域 P 上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元 多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算规律。 第三节 1． 主要内容：整除的概念 2． 基本概念和知识点：整除，因式，倍式 3． 问题与应用：正确理解整除的定义, 熟练掌握带余除法及整除的性质。 第四节 1． 主要内容：最大公因式 2． 基本概念和知识点：最大公因式、互素 3． 问题与应用： 正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式, 互素 等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。 第五节 1． 主要内容：因式分解定理。 2． 基本概念和知识点:因式分解定理 3． 问题与应用：正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握 因式分解及唯一性定理。掌握多项式的标准分解式。 第六节 1． 主要内容：重因式。 2． 基本概念和知识点: 重因式 3． 问题与应用： 正确理解和掌握 k 重因式的定义
第七节 主要内容：多项式函数。 2 基本概念和知识点：多项式函数、余数定理 3. 问题与应用：掌握多项式函数的概念，余数定理，多项式的根及性质。正 确理解多项式与多项式函数的关系。 第八节 1.主要内容：复系数与实系数多项式的因式分解。 基本概今和知识点：复系粉与实：系数多项式的因式分解 3. 问题与应用：理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及 标准分解。 第九节 1.主要内容：有理系数多项式。 2. 基本概念和知识点：本原多项式、Eisenstein判别法。 3.问题与应用：深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。 掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein 判别法。 第二章行列式 (一)目的与内容 级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、 行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。 二)教学内容 第一 1.主要内容：排列与逆序数。 2.基本概念与知识点：n级排列、逆序、逆序数。 3.问题与应用：理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇 偶性与对换的关系。 第二节 1.主要内容：n阶行列式的定义 2.其木概念与知识占： n阶行列式的定义 3.问题与应用：深刻理解和掌握级行列式的定义，能用定义计算一些特殊行列式
4 第七节 1. 主要内容：多项式函数。 2. 基本概念和知识点:多项式函数、余数定理 3. 问题与应用：掌握多项式函数的概念, 余数定理, 多项式的根及性质。正 确理解多项式与多项式函数的关系。 第八节 1. 主要内容：复系数与实系数多项式的因式分解。 2. 基本概念和知识点: 复系数与实系数多项式的因式分解。 3. 问题与应用：理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及 标准分解。 第九节 1. 主要内容：有理系数多项式。 2. 基本概念和知识点:本原多项式、Eisenstein 判别法。 3. 问题与应用：深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。 掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein 判别法。 第二章 行列式 （一）目的与内容 n 级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、 行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。 （二）教学内容 第一节 1. 主要内容： 排列与逆序数。 2. 基本概念与知识点：n 级排列、逆序、逆序数。 3. 问题与应用：理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇 偶性与对换的关系。 第二节 1. 主要内容： n 阶行列式的定义 2. 基本概念与知识点：n 阶行列式的定义 3. 问题与应用：深刻理解和掌握 n 级行列式的定义, 能用定义计算一些特殊行列式
第三节 1.主要内容：行列式的性质 2.基本概念与知识点：性质1性质6 3.问题与应用：熟练掌握行列式的基本性质。 第 1. 主要内容：行列式的计算 2.基本概念与知识点：行列式的计算 3.问题与应用：正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行 列式性质计算一些简单行列式。 第五节 1.主要内容：行列式按行展开 2.基本概念与知识点：余子式、代数余子式、按行展开公式 3.问题与应用：正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。热练掌握行列式按 行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计 算行列式的技巧。 第六节 1.主要内容：克莱姆法则 2基本概念与知识点： 问题与应用： 第三章线性方程组 (一)目的与 线性方 程组 的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关 线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组 矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基 础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解时的全部 解。 (二)教学内容 第一节 1.主要内容：消元法 2.基本概念与知识点：增广矩阵、高斯消元法 3.问题与应用：正确理解和掌握一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程 组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求解线性方程 组的一般解
5 第三节 1. 主要内容： 行列式的性质 2. 基本概念与知识点：性质 1-性质 6 3. 问题与应用：熟练掌握行列式的基本性质。 第四节 1. 主要内容：行列式的计算 2. 基本概念与知识点：行列式的计算 3. 问题与应用： 正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行 列式性质计算一些简单行列式。 第五节 1. 主要内容：行列式按行展开 2. 基本概念与知识点：余子式、代数余子式、按行展开公式 3. 问题与应用： 正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一 行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计 算行列式的技巧。 第六节 1. 主要内容： 克莱姆法则 2. 基本概念与知识点：克莱姆法则、齐次线性方程组有非零解的充要条件 3. 问题与应用： 熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。 第三章 线性方程组 （一）目的与内容 线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n 维向量、线性组合、线性相关、 线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、 矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基 础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解时的全部 解。 （二）教学内容 第一节 1. 主要内容：消元法 2. 基本概念与知识点：增广矩阵、高斯消元法 3. 问题与应用：正确理解和掌握一般线性方程组, 方程组的解, 增广矩阵，线性方程 组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求解线性方程 组的一般解