《数学分析选讲》课程教学大纲 课程基本信息 课程代码：16070603 课程名称：数学分析选讲 英文名称：Mathematics analysis selected 课程类别：专业方向课 时：48 学 适用对象：数学与应用数学、信息与计算科学等数学类专业 考核方式：考试 先修课程：空间解析几何，数学分析 二、课程简介 中文简分 1.《数学分析》是高等学校数学类专业最为重要的的基础课，是数学类专业硕士 研究生入学考试的必考课程。学好《数学分》是数学专业学习过程中的起点，对以后 的进一步深造和发展至关重要。可是要学好这门课程并非易事，许多学生学了一遍数 学分析后仍感一知半解，于是开一门这方面的综合提高课很有必要。《数学分析选讲》 是为 了这个目的而开设的 一门综 选修 效字分析 复习与综合 学生通过该课程的学习，对数学分析的理论、方法及应用有更深刻的理解，能提高学 生的抽象思维能力，空间想象能力及分析问题解决问题的能力，同时为学生创作与数 学相关的论文打下坚实的数学基础，也为报考研究生的学生提供一个复习与提高的机 2木里程主要内句括， 一元函数的极限与连续 一元函数微分学及其应用 元函数积分学及其应用 数项级数、函数项级数和幂级数 多元函数的极限与连线 多元函数微分学及其应用，重积分，曲线积分与曲面积分。多元函数与极限、偏导数 与全微分、重积分、曲线积分、曲面积分、含参变量的积分等。用“连续量数学理论” 的现象统率整个体系。 茧文简介 1.Mathematical analysis"is the most important basic course for the mathematics and it mpuisory cours for the entranc master or mathema ming mat proces mathe natics. whic ortant for an wever,it ea dents still eet Mathem ata nalysis and sele course for this purpose.it is a review and com nent of mathematica analysis Thro ugh the study of the course.students have a deer oer understanding of the theory.method and application of mathematical analysis.can improve students abstract thinking ability,spatial imagination ability and analytical problem-solving ability,and lay a solid mathematical foundation for students'writing and mathematics related papers,and 1
1 《数学分析选讲》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16070603 课程名称：数学分析选讲 英文名称：Mathematics analysis selected 课程类别：专业方向课 学 时：48 学 分：3 适用对象: 数学与应用数学、信息与计算科学等数学类专业 考核方式：考试 先修课程：空间解析几何，数学分析 二、课程简介 中文简介 1.《数学分析》是高等学校数学类专业最为重要的的基础课，是数学类专业硕士 研究生入学考试的必考课程。学好《数学分》是数学专业学习过程中的起点，对以后 的进一步深造和发展至关重要。可是要学好这门课程并非易事，许多学生学了一遍数 学分析后仍感一知半解，于是开一门这方面的综合提高课很有必要。《数学分析选讲》 课程正是为了这个目的而开设的一门综合选修课，它是数学分析的复习与综合提高。 学生通过该课程的学习，对数学分析的理论、方法及应用有更深刻的理解，能提高学 生的抽象思维能力，空间想象能力及分析问题解决问题的能力，同时为学生创作与数 学相关的论文打下坚实的数学基础，也为报考研究生的学生提供一个复习与提高的机 会。 2. 本课程主要内容包括：一元函数的极限与连续，一元函数微分学及其应用， 一元函数积分学及其应用，数项级数、函数项级数和幂级数，多元函数的极限与连续， 多元函数微分学及其应用，重积分，曲线积分与曲面积分。多元函数与极限、偏导数 与全微分、重积分、曲线积分、曲面积分、含参变量的积分等。用“连续量数学理论” 的现象统率整个体系。 英文简介 1. " Mathematical analysis" is the most important basic course for the mathematics majors in colleges and universities, and it is the compulsory course for the entrance examination of the master of mathematics. Learning mathematics well is the starting point of the learning process of mathematics, which is very important for further study and development. However, it is not easy to learn this course well, many students still have a little understanding after mathematical analysis, so it is necessary to open a comprehensive course in this aspect. Mathematics analysis and selection course is a comprehensive elective course for this purpose, it is a review and comprehensive improvement of mathematical analysis. Through the study of the course, students have a deeper understanding of the theory, method and application of mathematical analysis, can improve students' abstract thinking ability, spatial imagination ability and analytical problem-solving ability, and lay a solid mathematical foundation for students' writing and mathematics related papers, and
also provide a review and improvement opportunity for students enrolled in graduate The main contents of this course include:the limit and continuity of the unary function, and its application of unary function the integral and its application of unary function. and power the limit and continuity of multi nus an n,the weigh the Multiva n and limit, part par etc.The is comman d by continuou mathem atical the 三. 课程性质与教学目的 数字分 井》是数学与应用数兰 信息与计算科学等数学类专业最重要的专 业方向课，主要讲授微积分理论、方法及其应用。本课程理论严谨、系统性强。通过本 课程的学习，对数学分析的理论、方法及应用有更深刻的理解，能提高学生的抽象思 维能力，空间想象能力及分析问题解决问题的能力，同时为学生创作与数学相关的论 文打下坚实的数学基础，也为报考研究生的学生提供 ·个复习与提高的机会 本课程教学目的 更系统更深刻理解数学分析的基本概念 堂据粉学分析的某 本理论与方法， 进 一步体会数学分析研究中所涉及的各种数学思 想， 培养学生的数学 修养，提高综合应用数学分析的基本理论与方法去解决较难问题的能力。 围绕全面提高人才培养能力这个核心点，在价值塑造、知识传授、能力培养“ 位一体”的人才培养目标中，补齐价值塑造这块短板，寓价值观引导于知识传授和能 力培养之中，帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观。 重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展。在 教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景。 2、重视相关知识的整合，将一元函数与多元函数的极限，连续及求导（微分）整 合，将不定积分与定积分的计算方法整合，将重积分和线面积分整合，将反常级数与 反常积分的收敛性整合，将函数列，函数项级数和含参量反常积分的一致收敛性整合 休而木里积移的罗超休系 要反映现代数学的发展趋势， 吸收和采 用现代数学的思想观点与先进的处理方法 4、为了提高学生的数学修养，应重视基本定理的论证。用€-6的思想贯穿于极 限的存在性，定积分的存在性，（一致）收敛性及（一致）连续性等理论的论证中。 5、以课堂教学为主，重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用。 6、紧紧围绕坚定学生理想信念，以爱党、爱国、爱社会主义、 爱人民、爱住休 为主线， 围绕政治认同、 家国情 文化素养 治意识、道德修养等重点优 课程思政内容供给，系统进行中国特色社会主义和中国梦教育、社会主义核心价值观 教育、法治教育、劳动教育、心理健康教育、中华优秀传统文化教育。 四、教学内容及要求 第1 音 极限和连续 的与要求 教学目的
2 also provide a review and improvement opportunity for students enrolled in graduate students. 2. The main contents of this course include: the limit and continuity of the unary function, the differential and its application of unary function, the integral and its application of unary function, several series, series and power series, the limit and continuity of multivariate function, the differential calculus and its application, the weight integral, the curve integral and surface integral. Multivariate function and limit, partial derivative and total differential, weight integral, curve integral, surface integral, integral with parameter, etc. The whole system is commanded by the phenomenon of " continuous mathematical theory ". 三．课程性质与教学目的 《数学分析选讲》是数学与应用数学、信息与计算科学等数学类专业最重要的专 业方向课,主要讲授微积分理论、方法及其应用.本课程理论严谨、系统性强。通过本 课程的学习，对数学分析的理论、方法及应用有更深刻的理解，能提高学生的抽象思 维能力，空间想象能力及分析问题解决问题的能力，同时为学生创作与数学相关的论 文打下坚实的数学基础，也为报考研究生的学生提供一个复习与提高的机会。 本课程教学目的： 更系统更深刻理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基 本理论与方法，进一步体会数学分析研究中所涉及的各种数学思想，培养学生的数学 修养，提高综合应用数学分析的基本理论与方法去解决较难问题的能力。 围绕全面提高人才培养能力这个核心点，在价值塑造、知识传授、能力培养“三 位一体”的人才培养目标中，补齐价值塑造这块短板，寓价值观引导于知识传授和能 力培养之中，帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观。 1、 重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展。在 教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景。 2、 重视相关知识的整合，将一元函数与多元函数的极限，连续及求导(微分)整 合，将不定积分与定积分的计算方法整合，将重积分和线面积分整合，将反常级数与 反常积分的收敛性整合，将函数列，函数项级数和含参量反常积分的一致收敛性整合。 3、 除体现本课程严格的逻辑体系外，要反映现代数学的发展趋势， 吸收和采 用现代数学的思想观点与先进的处理方法。 4、为了提高学生的数学修养，应重视基本定理的论证。用ε-δ的思想贯穿于极 限的存在性，定积分的存在性，(一致)收敛性及(一致)连续性等理论的论证中。 5、以课堂教学为主，重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用。 6、紧紧围绕坚定学生理想信念，以爱党、爱国、爱社会主义、爱人民、爱集体 为主线，围绕政治认同、家国情怀、文化素养、宪法法治意识、道德修养等重点优化 课程思政内容供给，系统进行中国特色社会主义和中国梦教育、社会主义核心价值观 教育、法治教育、劳动教育、心理健康教育、中华优秀传统文化教育。 四、教学内容及要求 第 1 章 极限和连续 （一）目的与要求 教学目的
1.理解数列极限的概念，掌握数列极限的 一整套理论。 2。数学分析研究的对象是函数，研究函数的方法是极限。因此极限是贯 串整个数学分析的基本理论，函数的连续性，导数，积分等都和极限 有关。因此要求学生实掌据函数极限的理论 3.掌握闭区间上的连续函数的整体性质以及这些性质的应用，例如可以 个方 有实根等等 4.引导学生分析复利模型，完成对第二重要极限的探究，并将其迁移到 实际问题中，如“谨值投资，警惕网进”。 教学要求 理解粉列极限概念、数列极限的柯西准则 9 掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件 3. 了解函数极限的柯西准则： 理解函数极限的概念 单侧极限 、无穷小 量与无穷大量的概念及其比较：掌握函数极限的性质和归结原则，掌 握用两个重要极限及等价无穷小替换来处理极限问题。 4. 了解反函数的连续性：理解一元函数连续性的定义，间断点及其分类， 连续函数的局部性质，单侧连续的概念，复合函数的连续性及初等函 数的性质 掌握并会应用闭区间上连续函数的性质。 (二)教学内容 第一节数列极限 1.主要内容 数列的极限概念与计算 2.基本概念和 知识点 数列极限的定义，无穷小数列，子列，收敛数列的性质 3.问题与应用（能力要求） 掌握证明数列极限存在及其求极限的方法，证明数列发散的方法 第二节函数极限 1.主要内 函数极限的定义，计算 2.基本概念和知识点 函数极限的定义，无穷小量，无穷大量，曲线的渐近线 3.问题与应用（能力要求） 掌握极限的性质，极限的计算方法，证明极限存在性 第三节函数的连续性 1.主要内容 函数的点连续概念，函数的间断点定义，一致连续，连续函数的性质 2.基本概念和知识点 连续的定义，间断点的定义，一致连续的定义 3.问题与应用（能力要求） 理解并掌握闭区间上连续函数的性质 3
3 1．理解数列极限的概念，掌握数列极限的一整套理论。 2．数学分析研究的对象是函数，研究函数的方法是极限。因此极限是贯 串整个数学分析的基本理论，函数的连续性，导数，积分等都和极限 有关。因此要求学生扎实掌握函数极限的理论。 3．掌握闭区间上的连续函数的整体性质以及这些性质的应用，例如可以 利用零点定理证明某个方程有实根等等。 4．引导学生分析复利模型，完成对第二重要极限的探究，并将其迁移到 实际问题中，如“谨慎投资，警惕网贷”。 教学要求 1. 理解数列极限概念、数列极限的柯西准则 2. 掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件 3. 了解函数极限的柯西准则；理解函数极限的概念、单侧极限、无穷小 量与无穷大量的概念及其比较；掌握函数极限的性质和归结原则，掌 握用两个重要极限及等价无穷小替换来处理极限问题。 4. 了解反函数的连续性；理解一元函数连续性的定义，间断点及其分类， 连续函数的局部性质，单侧连续的概念，复合函数的连续性及初等函 数的性质。 5. 掌握并会应用闭区间上连续函数的性质。 （二）教学内容 第一节 数列极限 1.主要内容 数列的极限概念与计算 2. 基本概念和知识点 数列极限的定义，无穷小数列，子列，收敛数列的性质 3. 问题与应用（能力要求) 掌握证明数列极限存在及其求极限的方法,证明数列发散的方法 第二节 函数极限 1. 主要内容 函数极限的定义，计算 2.基本概念和知识点 函数极限的定义，无穷小量，无穷大量，曲线的渐近线 3. 问题与应用（能力要求） 掌握极限的性质，极限的计算方法，证明极限存在性 第三节 函数的连续性 1. 主要内容 函数的点连续概念，函数的间断点定义，一致连续，连续函数的性质 2.基本概念和知识点 连续的定义，间断点的定义，一致连续的定义 3.问题与应用（能力要求） 理解并掌握闭区间上连续函数的性质
(三)思考与实践 思考函数极限与数列极限的联系。 (四)教学方法与手段 本章教学主要采用堂讲授、多媒体教学、课堂提问等教学方法， 第2章 一元函数微分学 (一)目的与要求 教学目的： 1.导数和微分最初是从研究函数的极值问颗以及力学和几何学中建 立起来的，它是微积分学的重要组成部分， 甘迎论和方法口对整 个数 领域产 巨大的影 是后续课程的学习的基础，是几何 学，物理学等实际问题提供有力的工具。 2.微分中值定理（包括罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，泰勒定 理)等可以帮助我们由导数的已知性质来推断函数应具有的性质。 可以综合利用这些理论去解决某些较难的理论和实际问题。微分 中值定理让我们领悟到微分学的理论与方法在解决数学问题中的 巨大威力及微分学思想的巧 3.介绍导数的起源：17世纪的两个科学问题 1)光学透镜的设计及炮弹弹道轨迹的计算引起的有关曲线切线的研 2)由力学的发展所洗及的质占变速云动的腰时速府问顺 展现科学家们追求真理的勇气和毅力 教学要求： 1.了解导数的几何意义，几何应用，微分在近似计算中的应用 2.理解导数与微分概念，单侧导数，可导性与连续性的关系。 3.掌握运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数，会求高阶导数 4.了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展 开，了解函数的某些基本特性，能较正确地作出某些函数的图象。 5.理解中值定理的内容、证明及其应用。 6.掌握运用罗必达法则求不定式的极限。 (仁)教学内 第一 节导数与微分 1.主要内容 导数概念与微分概念 2.基本概念和知识点 导数、微分 3.问题与应用（能力要求 求导和求微分的运 法则，一阶微分的形式不变性 第二节微分中值定理及其应用 4
4 (三)思考与实践 思考函数极限与数列极限的联系。 （四）教学方法与手段 本章教学主要采用堂讲授、多媒体教学、课堂提问等教学方法。 第 2 章 一元函数微分学 (一) 目的与要求 教学目的： 1.导数和微分最初是从研究函数的极值问题以及力学和几何学中建 立起来的，它是微积分学的重要组成部分，其理论和方法已对整 个数学领域产生巨大的影响，是后续课程的学习的基础，是几何 学，物理学等实际问题提供有力的工具。 2.微分中值定理（包括罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，泰勒定 理）等可以帮助我们由导数的已知性质来推断函数应具有的性质。 可以综合利用这些理论去解决某些较难的理论和实际问题。微分 中值定理让我们领悟到微分学的理论与方法在解决数学问题中的 巨大威力及微分学思想的巧妙。 3.介绍导数的起源：17 世纪的两个科学问题. 1）光学透镜的设计及炮弹弹道轨迹的计算引起的有关曲线切线的研 究； 2）由力学的发展所涉及的质点变速运动的瞬时速度问题。 展现科学家们追求真理的勇气和毅力。 教学要求： 1.了解导数的几何意义，几何应用，微分在近似计算中的应用。 2.理解导数与微分概念，单侧导数，可导性与连续性的关系。 3.掌握运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数，会求高阶导数。 4.了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展 开，了解函数的某些基本特性，能较正确地作出某些函数的图象。 5.理解中值定理的内容、证明及其应用。 6.掌握运用罗必达法则求不定式的极限。 (二) 教学内容 第一节 导数与微分 1.主要内容 导数概念与微分概念 2. 基本概念和知识点 导数、微分 3. 问题与应用（能力要求) 求导和求微分的运算法则，一阶微分的形式不变性 第二节 微分中值定理及其应用
1.主要内容 三大微分中值定理，泰勒公式，洛必达法则 2.基本概念和知识点 零点（根）的定义，函数的极值和最值，函数的凹凸性 3.问题与应用（能力要求） 熟练用微分中值定理证明恒等式，紫握导数的应用 (三)思考与实践 理解并掌握一元函数的微分理论，能够用于解决一些实际问题。 (四)教学方法与手段 本章教学主要采用堂讲授、多媒体教学、课堂提问等教学方法。 第3章 一元函数积分学 目的 教学目的 1.不定积分在某种意义上来说是微分学的逆运算，它是求原函数的重要 手段，也是计算定积分的基础（见牛顿一莱布尼茨公式） 2.定积分是微积分学中最辉煌的成就之一，其思想与方法已渗透到纯粹 数学与应用数学的许多领域之中。掌握定积分的理论及计算方法，对 解决数学问题及实际问题都有重要的意义 3.培养学生的逆向思维和总结推广能力，激发他们求知欲望。 4.介绍定积分的发展历史。让学生感受到数学的魅力、数学的美妙、数 学源远流长的光辉历史，让学生认识到数学发展以及它对人类社会发 展的作用，从而树立攻坚克难、精益求精、勇于创新的理想信念。 教学要求： 1.了解一些可积分函数类：理解定积分概念及函数可积的条件，定积 分与可变限积分的性质。 2.掌握运用牛顿一莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法计算一些 定和 3.了解有理式积分法和三角有理式积分法，并会利用它们来求函数的 积分，会计算简单的无理函数的积分。 (二)教学内 第一节不定积分 1.主要内容 原函数和不定积分的定义，不定积分的性质，求笃定积分的方法 2. 基本概念和知识点 原函数和不定积分的定义、不定积分的计算（换元法，分部积分法） 3.问题与应用（能力要求） 无理函数和某些无理函数的积分。 第二节定积 1.主要内容 5
5 1. 主要内容 三大微分中值定理，泰勒公式，洛必达法则 2. 基本概念和知识点 零点（根）的定义，函数的极值和最值，函数的凹凸性 3. 问题与应用（能力要求） 熟练掌握用微分中值定理证明恒等式，掌握导数的应用 (三) 思考与实践 理解并掌握一元函数的微分理论，能够用于解决一些实际问题。 (四) 教学方法与手段 本章教学主要采用堂讲授、多媒体教学、课堂提问等教学方法。 第 3 章 一元函数积分学 (一) 目的与要求 教学目的 1.不定积分在某种意义上来说是微分学的逆运算，它是求原函数的重要 手段，也是计算定积分的基础（见牛顿—莱布尼茨公式）。 2.定积分是微积分学中最辉煌的成就之一，其思想与方法已渗透到纯粹 数学与应用数学的许多领域之中。掌握定积分的理论及计算方法，对 解决数学问题及实际问题都有重要的意义。 3.培养学生的逆向思维和总结推广能力，激发他们求知欲望。 4.介绍定积分的发展历史。让学生感受到数学的魅力、数学的美妙、数 学源远流长的光辉历史，让学生认识到数学发展以及它对人类社会发 展的作用，从而树立攻坚克难、精益求精、勇于创新的理想信念。 教学要求： 1.了解一些可积分函数类；理解定积分概念及函数可积的条件，定积 分与可变限积分的性质。 2.掌握运用牛顿—莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法计算一些 定积分。 3.了解有理式积分法和三角有理式积分法，并会利用它们来求函数的 积分，会计算简单的无理函数的积分。 (二) 教学内容 第一节 不定积分 1. 主要内容 原函数和不定积分的定义，不定积分的性质，求笃定积分的方法 2. 基本概念和知识点 原函数和不定积分的定义、不定积分的计算（换元法，分部积分法） 3. 问题与应用（能力要求) 无理函数和某些无理函数的积分。 第二节 定积分 1.主要内容