《偏微分方程》第3章波动方程 3.2一维波动方程的初边值问题 本节介绍在应用领域经常遇到的初边值问题.解决这类问题 的方法主要是分离变量法和特征函数展开法,我们同时介绍特征 线法和略微复杂的反射法.这一节的讨论将导致下一节的 Stur Linville(施图尔姆一刘维尔)特征值与特征函数理论
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 3.2.1齐次方程特征线法 首先,我们观察图34所示的平行四边形ABCD,它的四条 边是波动方程(311)的四条特征线x+at=c,x-at=d,i= 1,2,容易验证,任何形如(3.1.7)的函数在对顶点上的值的和 是相等的,即都满足等式 u(4)+(C)=a(B)+u(D (32.1)
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 现在,考虑初边值问题 utt-a-umr=0,0<a<L,t>0 (x,0)=f(x),tt(x,0)=9(x),0≤x≤L(322) u(0,t)=a(t),(L,t)=β(t),t≥0 为求解,用通过角点的特征线及通过这些特征线与边界的交点的 特征线,把带形区域0<x<L,t>0分成无数块小的区域(图 35
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 (x,t)在闭区域I(它正是区间0.,的决定区域)上任一点 的值,直接用 d'Alambert公式(3-1.5),仅由初值就能确定.对 闭区域Ⅱ中的点,例如A=(x,t),作具有顶点A,B,C,D的特 征平行四边形,由(321)得 (4)=-(C)+u(B)+(D), (323 其中,(B)由边界条件给出,而由于C,D位于闭区域I上, 所以(C),(D)是已经算得的.类似地,可得到在区域II V,…上的值,从而得到问题(3.22)在带形区域中的解.称 这种解法为特征线法
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《偏微分方程》第3章波动方程 32.2齐次方程分离变量法 分离变量法又称 Fourier(富里叶)方法,而在讨论波动方程时 也称它为驻波法.此法来源于物理学中如下的事实:机楲振动或 电磁振动总可以分解为具有各种频率和振幅的简谐振动的叠加 而每个简谐振动具有形式e(+c)= elleker,k=c,这正是物 理上所谓的驻波.从数学角度看,驻波就是只含变量x的函数与 只含变量t的函数的乘积,即具有变量分离的形式.由此启发我 们在解线性定解回题时,可尝试先求出满足齐次方程和齐次边界 条件的具有变量分离形式的解 (x,t)=Xn(x)Tn2(t),n=1,2 然后把它们叠加起来,记为 (x,t)=∑CnXn(x)Tn(t) 利用初始条件确定各项中的任意常数,使其成为回题的解
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