《偏微分方程》第3章波动方程 3.1.2初值问题的弱解 从物理上看,(x)和v(x)分别表示弦的初始位移和初始速 度,它们连续但不一定都是光滑的.此时从数学上看,d' Alembert 公式中的积分仍然有意义,但它是否仍然表达弦振动的规律呢? 回答是肯定的,事实上,若φ(x),v(x)仅在R1上连续,则对任 意区间|r,r],r>0,由函数逼近的 Weierstrass定理知,存在 两列函数9n∈C2(R1),mn∈C1(R1),n=1,2,…,在[r,n 上分别一致收敛于φ和v.记初值问题 t a-u 0 a(x,0)=9n(x),tt(x,0)=vn(x),n=1,2,…
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 的解为an(x,t),可由 d'alembert公式表示出: +at un(a, t)=lpN(a+at)+An(a-at)+o a'n()dy 在上式中令n→+∞,得 u(b=kx+)+(g-a+1/ut 即a(x,t)仍由 d'Alembert公式表示.但它已不是古典解,我们 称它为问题(3.1.2)的弱解或广义解.以上的分析说明了这种弱 解的存在性,显然它是唯一的.再一次用估计式(31.6)可知这种 弱解也是稳定的,从而关于这种弱解的初值问题也是适定的.所
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 3.1.3依赖区域决定区域影响区域 我们从 d'Alembert公式(31.5)看到,(xo,to)由初始函 数φ,v在x轴的区间{x0-ato,0+ato]上的值唯一决定,这 个区间的端点是过点(x0,to)的两条特征线与x轴的交点,称此 区间是点(x,to)的依赖区域(图31,改变φ,v在此区间外 的值不会影响解(x,t)在点(x0,to)的值
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 另一方面,把x轴上以点5为中心、长度为2R的区间记为 I:|-|≤R.过点-B与+R分别作特征线r-at=5-R 与x+at=5+R,其交点为(5,B/a).记此三角形区域的闭包为 B(.则由解的依赖区域的概念易知,B(Ⅰ)上任一点(x,t)处的 解u的值仅由此三角形底边[-R,E+上的初值唯一决定
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 我们称B(D)是区间一R,5+胃的决定区域(图3.2)可见, 若改变此区间以外的初值,并不影响解在B(D)上的值.现在换 一个角度提问题:x轴上的区间[ro,x1]上的初值影响解u(x,t) 在哪些点上的值?由解的依赖区域的定义易知这些点位于由过点 x0的特征线x+at=x0和过点x1的特征线x-at=x1与底 边[x0,x1]所界定的无界区域G上.我们称G是区间[xo,x1]的 影响区域(图3.3)
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