《偏微分方程》第3章波动方程 下面,我们以两端固定的弦的自由振动为例介绍分离变量法 此定解问题为 utt-a2urr=0.0<x<I t>o (0,t)=0,a(l,t)=0,t≥0 (3.2.6) a(x,0)=f(x),t(x,0)=9(x),0≤x≤l, 其中,f,9满足相容条件 f(0)=f(l)=0,9(0)=9()=0
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 分离变量法的步骤如下: (1)分离变量.先求方程仅满足齐次边界条件的形如 (x,t)=X(x)T(t)≠0 的解.将它代入方程并整理,得 7÷+ T"(t) X() ,X(x)T(t)≠0 上式左端只是自变量t的函数,而右端只是自变量x的函数.因 此,当且仅当它们都是常数时恒等式成立,记此常数为一λ,得 T"(t)+Ma2r(t)=0,t>0 (3.27) X"(x)+入X(x)=0,0<x<l 为使(x,t)满足边界条件,只须要求X(O)=X()=0即可
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 (2)解特征值问题.即求使常微分方程两点边值问题 X"(x)+入X(x)=0,0<x<l (328) (0)=X()=0 有非零解的实数λ值及其解,称这些入值为问题(3.28)的特征 值,对应于λ的非零解Xx(x)叫做问题(3.28)的特征函数,其 全体组成特征函数糸.下面先求特征值 (a)当入<0时,方程的通解为 X(x)=Ae-x+Be-√-Xx 代入边界条件,得 =B=0即(328仅有零解,故λ<0不是其特征值
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 (b)当λ=0时,通解为X"(x)=0,代入边界条件后解得 X(x)≡0,所以,A=0也不是特征值 (c)当入>0时,若记入=k2(k>0),则得方程的通解为 X(r)=Acos ka r+ Bsin k 由边界条件X(0)=0得A=0.再由X()=0得Bsnk=0 因求非零解,B不能取为零,故应有 n丌 non k 或λn 1,2, (329)
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 此即特征值问题(32.8)的特征值.相应的非零解,即特征函数是 Xn(r)=Bsin a, n= 1, 2 (3.2.10) 其中,B是任意常数.把(3.2.9)式的入代入(3.2.7)的第一个 方程,解得 07270 / i n SIn t+D.Cos- 其中,Cn,D是任意常数 于是,函数 un(e, t)=Xn(r)Tn(t) ansi n Cos t+ Dn sin sI 7=1,2, 满足(326)中方程和边界条件.其中,Cn=BCn,Dn=BD 是任意常数,留待确定
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