同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第25章 普遍方程与拉氏方程（3/3）

第二类拉格朗日方程的初积分(i=1, 2, ..., n)r, = r(q1,q2,...,qk;t)k ordrar>V:gdtatdaj=1Y1my?>T=-2i=1kkororararorar1Z>2,[22+2m,a2.9aqsatatat2odiaqji1j=l s=1j=1KarKarY1ZZ(2)9,9smaqsdi1i-1j=l s=1nnorornar,arZZZq(m;m;oqjatatat2i=lj=l i=1

第二类拉格朗日方程的初积分 ( , , , ; ) 1 2 r r q q q t i = i  k   (i=1,2,.,n) t r q q r t r v i j j i k j i i   +   = = =      d 1 d = = n i i i T m v 1 2 2 1     = = = =      +      +      = n i i i j i n j j i j s k j k s s i j i i t r t r q t r q r q q q r q r m 1 1 1 1 [ 2 ] 2 1          t r t r m i i n i i      + =   2 1 1   = = =      = k j j s k s s i j i n i i q q q r q r m 1 1 1 ( ) 2 1     j i n j j i n i i q t r q r m    ( ) 1 1      += =

即:T=T(q,..",qkqi,..,qk;t)最高为广义速度的二次方ararAjs =Zm;令：aqsaqi=1narZB, =m,oqji=1narorZmatat2i=lkRZZA,9,9s再令：T, =广义速度的二次方项2j=1 s=lkT=ZB,qj广义速度的一次方项j=lT =C广义速度的零次方项

即: T = T(q1 ,  ,qk ;q  1 ,  ,q  k ;t) 最高为广义速度的二次方 令： s i j i n i js i q r q r A m      = =   1 t r q r B m i j i n i j i      = =   1 广义速度的二次方项 t r t r C m i i n i i      = =   2 1 1 T0 = C 再令： = = = k j j s k s T Ajsq q 1 1 2 2 1   = = k j T Bj qj 1 1  广义速度的一次方项 广义速度的零次方项

则：T=T2+T+ToaLd.aL=0对主动力均为有势力系统dt aqjoqj1.循环积分aLd.aL=0二)=0若L中不显含qs，则aqsdt aqsaL=常广义动量守恒aqs缺省的q,为循环坐标

则: T=T2+T1+T0 对主动力均为有势力系统 ( ) 0 d d =   −   j qj L q L t  1. 循环积分 若L中不显含qs，则 = 0   s q L ( ) 0 d d =   qs L t  = 常   s q L  缺省的qs为循环坐标。 广义动量守恒

2.广义能量积分（能量积分）在L中不显含时间时，在aLda=0(j-1, ..,k)dt aqjaqj每一式上乘上相应的9i后，并求和有kaLdaLZ[9]qjoqjdtqj j=1WaLaLdaL(99qjC二oqjdtoqjoqjj=IkkdaLaLaLZ(qZ(q)①ai1dtaqjaqjoqjj=1j=1

2. 广义能量积分（能量积分） 在L中不显含时间t时，在 ( ) 0 d d =   −   j qj L q L t  ( j=1, .,k ) 每一式上乘上相应的 q  j 后，并求和有 ( ) ] 0 d d [ 1 =   −   = j j j k j j q L q q L t q    ( ) ] 0 d d [ 1 =   −   −   = j j j j j j k j q L q q L q q L q t      ( ) ( ) 0 d d 1 1 =   −   −     = = k j j j j j k j j j q L q q L q q L q t      ①

kkaLaLdaLZ(q)Z(q,=0aiqj①oqjdtaqjj=1 j=1另从拉氏函数(不显含时间t)，即L=L(q,,qksq,,qk)kaLdLaLZ(q;)=0+qj2dtoqjqjj=1式②代入到式①AdaLaLdLd[ZZ(qjL=O0(q)dtaqjdtaqjdtj=1j=1kaLZ(q;③-L=常量得：aqJ=1将L=T-V=T,+T,+To-V代入式③

( ) ( ) 0 d d 1 1 =   −   −     = = k j j j j j k j j j q L q q L q q L q t      式②代入到式① 另从拉氏函数(不显含时间t)，即 ( , , ; , , ) L L q1 qk q1 qk =     ( ) 0 d d 1 =   +   == k j j j j j q L q q L q t L    0 d d ( ) d d 1 − =   = t L q L q t k j j j   [ ( ) ] 0 d d 1 − =   = L q L q t k j j j   将L=T-V=T2+T1+T0 -V代入式③ 得: − = 常量   = L q L q k j j j 1 ( )   ① ② ③