《电动力学》课程教学资源（习题解答）第四章 电磁波的传播

第四章电磁波的传播电动力学习题解答1.考虑两列振幅相同的、偏振方向相同、频率分别为の+d和の-dの的线偏振平面波，它们都沿z轴方向传播。（1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波。（2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。E,(x,t)= E(x)cos(k,x-0,t)解：E,(x,t) = E(3)cos(k,x-0,t)E= E,(x,t)+E,(x,t) = E()[cos(k,x-0,t)+cos(k2x -02t)(k +k x-+21)cos((k-k2x-0-021)= 2E(x)cos(2222其中k,=k+dk,z=k-dk,の=の+d,2=の-do.. E = 2E(x)cos(kx- ot)cos(dk ·x - do -t)用复数表示E=2E。()cos(dk·x-dの-t)e(kr-an)相速kx-ot=00:Vp=k群速dkx-dot=o_ do.Vg:dk2.一平面电磁波以0=45°从真空入射到6，=2的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。解：n为界面法向单位矢量，<S><S>,<S">分别为入射波，反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数R和折射系数T定义为：<s>_ E?R=<>-Enzcoso,E"2ks">nT =<S>-nn, cosOE?又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得：e,coo-ezcosoR=ercoso+/82cos02-1-

电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播 - 1 - 1.考虑两列振幅相同的 偏振方向相同 频率分别为ω + dϖ和ω − dω 的线偏振平面波 它们都沿 z 轴方向传播 1 求合成波 证明波的振幅不是常数 而是一个波 2 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度 解 ( , ) ( ) cos( ) ( , ) ( ) cos( ) 2 0 2 2 1 0 1 1 E x t E x k x t E x t E x k x t ω ω = − = − r r r r r r r r ( , ) ( , ) ( )[cos( ) cos( )] 1 2 0 1 1 2 2 E = E x t + E x t = E x k x −ω t + k x −ω t r r r r r r r ) 2 2 ) cos( 2 2 2 ( ) cos( 1 2 1 2 1 2 1 2 0 x t k k x t k k E x ω ω ω −ω − + − − + = r r 其中k1 = k + dk, k2 = k − dk;ω1 = ω + dω,ω 2 = ω − dω 2 ( ) cos( ) cos( ) 0 ∴ E = E x kx −ωt dk ⋅ x − dω ⋅t r r r 用复数表示 ( ) 0 2 ( ) cos( ) i kx t E E x dk x d t e ω ω − = ⋅ − ⋅ r r r 相速 kx −ωt = 0 k v p ω ∴ = 群速 dk ⋅ x − dω ⋅t = 0 dk d vg ω ∴ = 2 一平面电磁波以 o θ = 45 从真空入射到 = 2 r ε 的介质 电场强度垂直于入射面 求反射 系数和折射系数 解 n r 为界面法向单位矢量 < S >,< S'>,< S''> 分别为入射波 反射波和折射波的玻印 亭矢量的周期平均值 则反射系数 R 和折射系数 T 定义为 2 1 0 2 2 2 2 0 2' 0 cos '' cos '' ' n E n E S n S n T E E S n S n R θ θ = < > ⋅ < > ⋅ = = < > ⋅ < > ⋅ = r r r r 又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式 可得 2 1 2 2 1 2 2 cos cos cos cos         + − = ε θ ε θ ε θ ε θ R

电动力学习题解答第四章电磁波的传播4/61/62.cos0cos02T =(/e,coso+62 cos0,)2又根据反射定律和折射定律0 = 0, = 450e,sing,=asing由题意，=60,62=606,=250.. 0, = 30°V2V2V3)2_2-V32..R=(V2+V2V2 +3224e02V322T2+/3V2Veov2vE,(eo223．有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°。证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。设该波在空气中的波长为入。=6.28×10-5cm，水的折射率为n=1.33。10=48.75°，所以当平面光波以60°入射时解：由折射定律得，临界角の。=arcsin1.33将会发生全反射。折射波：k"=ksino/30"0相速度k/k"2/sineM6.28 ×10-s1.7×10-cm投入空气的深度K=2元/sin0-n21/sin260-2元1.334。频率为の的电磁波在各向同性介质中传播时，若E,D,B,H仍按e(K-a）变化，但D不再与E平行（即D=&E不成立）。(1)证明k.B=k-D=B.D=B.E=0,但一般k.E+0-2-

电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播 - 2 - 2 1 2 2 1 2 2 ( cos cos ) 4 cos cos ε θ ε θ ε ε θ θ + T = 又根据反射定律和折射定律 ε θ ε θ θ θ sin sin 45 2 2 1 1 = = = o 由题意 1 0 2 0 2 0 ε = ε ,ε = ε ε = ε r o ∴θ 2 = 30 2 3 2 3 ) 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 ( 2 + − = + − ∴ R = 2 3 2 3 ) 2 3 2 2 2 ( 2 3 2 2 4 2 2 0 0 0 + = + = ε ε ε T 3 有一可见平面光波由水入射到空气 入射角为 60 证明这时将会发生全反射 并求 折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度 设该波在空气中的波长为 5 0 6.28 10− λ = × cm 水的折射率为 n 1.33 解 由折射定律得 临界角 ) 48.75 1.33 1 θ c = arcsin( = 所以当平面光波以 60 入射时 将会发生全反射 折射波 k′′ = k sinθ 相速度 c k k v p 2 3 sin = = ′′ ′′ = θ ω ω 投入空气的深度 5 2 2 5 2 21 2 1 1.7 10 ) 1.33 1 2 sin 60 ( 6.28 10 2 sin − − ≈ × − × = − = π π θ λ κ n cm 4 频率为ω 的电磁波在各向同性介质中传播时 若 E D B H v v v v , , , 仍按 i(k x t) e ⋅ −ω v v 变化 但 D v 不再与 E v 平行 即 D E v v = ε 不成立 1 证明 k ⋅ B = k ⋅ D = B ⋅ D = B ⋅ E = 0, k ⋅ E ≠ 0 v v v v v v v v v v 但一般

第四章电动力学习题解答电磁波的传播1（2）证明D=[k?E-(k.E)k)wu（3）证明能流S与波矢k一般不在同方向上。证明：1）由麦氏方程组/VxE=-OBataDVxH=atV.D=0V.B=0得：V.B=B,.Vei(Kx-on) = ik.Boei(K--al) =ik.B=0..k.B=0k.D=0同理V×H =[Vei(kx-on) ]xH,= ik xH =-ioD..ik ×B = -iuoD1B.(k×B)=0..B.D=-oV×E=[Ve(K-x-a)]×E。=ik×E=ioB..B.E-I(KxE).E=0,V.E=ik.E.0:D+sE..V.E一般+0，即k.E一般+0-3-

电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播 - 3 - 2 证明 [ ( ) ] 1 2 2 D k E k E k v v v v v = − ⋅ ω µ 3 证明能流 S v 与波矢 k v 一般不在同方向上 证明 1 由麦氏方程组          ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∂ ∂ ∇ × = ∂ ∂ ∇ × = − 0 0 B D t D H t B E v v v v v v 得 0 ( ) 0 ( ) ∇ ⋅ = 0 ⋅∇ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ − B B e ik B e ik B i k x t i k x t v v v v v v v v v v ω ω ∴k ⋅ B = 0 r v 同理 k ⋅ D = 0 v v H e H ik H i D i k x t v v v v v v v ω ω ∇ × = ∇ × = × = − ⋅ − 0 ( ) [ ] ik B i D v v v ∴ × = − µω ( ) 0 1 ∴ B ⋅ D = − B ⋅ k × B = v v v v v µω E e E ik E i B i k x t v v v v v v v ω ω ∇ × = ∇ × = × = ⋅ − 0 ( ) [ ] ( ) 0 1 ∴ B ⋅ E = k × E ⋅ E = v v v v v ω E ik E v v v ∇ ⋅ = ⋅ D E v v Q ≠ ε E v ∴∇ ⋅ 一般 ≠ 0 即 k E v v ⋅ 一般 ≠ 0

电动力学习题解答第四章电磁波的传播aBB=-(k×E)2）由V×E=得：at0aD1另由V×H=D=(k×B)得：ato1..D:[k×(k×E)] =M0 [(K×E) =-0 [K*E-( E)]o2I(kxE) 得 H=—(K×E)3)由B=0uo.S=ExH=Ex(K×E)=[E2K-(K.E)E)uoLoK.E一般?0.S一般+一EK，即S一般不与K同向o5.有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z轴传播，一个波沿x方向偏振，另一个沿y方向偏振，但相位比前者超前二，，求合成波的偏振。2反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？解：偏振方向在x轴上的波可记为：x=Acos(ot-kz)=Acos(ot+Pox)在y轴上的波可记为：y= A cos(ot - ke +)= A cos(o + o,)2_元Ap=Poy-Por2合成得轨迹方程为：x?+y?=Ag[cos?(ot+Pox)+cos(ot+Po,)]= A [cos (ot + Por)+sin'(ot + Por)]= A即x?+y?=A?所以合成的振动是一个圆频率为の的沿Z轴方向传播的右旋圆偏振。反之，一个圆偏-4-

电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播 - 4 - 2 由 t B E ∂ ∂ ∇ × = − v v 得 ( ) 1 B k E v v v = × ω 另由 t D H ∂ ∂ ∇ × = v v 得 ( ) 1 D k B v v v = − × µω [ ( ) ] 1 [( ) ] 1 [ ( )] 1 2 2 2 2 D k k E k E k k E k E k v v v v v v v v v v v ∴ = − × × = × × = − ⋅ µω µω µω 3 由 ( ) 1 B k E v v v = × ω 得 ( ) 1 H k E v v v = × µω [ ( ) ] 1 ( ) 1 2 S E H E k E E k k E E v v r v v v v v v v ∴ = × = × × = − ⋅ µω µω k E v v Q ⋅ 一般 ≠ 0 S v ∴ 一般 E k v 1 2 µω ≠ 即 S v 一般不与 k v 同向 5 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿 z 轴传播 一个波沿 x 方向偏振 另一个沿 y 方向偏振 但相位比前者超前 2 π 求合成波的偏振 反之 一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振 解 偏振方向在 x 轴上的波可记为 cos( ) cos( ) 0 0 0x x = A ωt − kz = A ωt +ϕ 在 y 轴上的波可记为 ) cos( ) 2 cos( 0 0 0 y y A t kz A ωt ϕ π = ω − + = + 2 0 0 π ∆ϕ = ϕ y −ϕ x = 合成得轨迹方程为 [cos ( ) cos ( )] 0 2 0 2 2 0 2 2 x y x + y = A ωt +ϕ + ωt +ϕ [cos ( ) sin ( )] 0 2 0 2 2 0 x x = A ωt +ϕ + ωt +ϕ 2 = A0 即 2 0 2 2 x + y = A 所以合成的振动是一个圆频率为ω 的沿 z 轴方向传播的右旋圆偏振 反之 一个圆偏

第四章电磁波的传播电动力学习题解答振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为元，的线偏振的合成6.平面电磁波垂直直射到金属表面上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。证明：设在z>0的空间中是金属导体，电磁波由z<0的空间中垂直于导体表面入射。已知导体中电磁波的电场部分表达式是：E = E,e-ei(βe-or)于是，由z二0的表面，单位面积进入导体的能量为：S=E×H，其中，H=K×E=(β+ia)xEououβ其平均值为Re(E'×H)=E22ou在导体内部，：J=E=oEe-Fe(B-ar)所以金属导体单位面积那消耗的焦耳热的平均值为：0-2ccdQ=-Re(J"×E)=-oE.e22E即得单位面积对应的导体中消耗的平均焦=e-2Fdz =作积分：e24α耳热。Xaoug2βaE?E =..Q:原题得证4α20p7.已知海水的μ，=1,α=1S·m-"，试计算频率v为5010°和10°Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，128=透射深度αVoua"μ, =1.. μ= μoμ, = μ= 4元×10-7221>V=50Hz时：8,72mV2元×50×4元×10-7×1ou-5-

电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播 - 5 - 振可以分解为两个偏振方向垂直 同振幅 同频率 相位差为 2 π 的线偏振的合成 6 平面电磁波垂直直射到金属表面上 试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热 证明 设在 z>0 的空间中是金属导体 电磁波由 z<0 的空间中垂直于导体表面入射 已知导体中电磁波的电场部分表达式是 ( ) 0 z i z t E E e e −α β −ω = v v 于是 由 z 0 的表面 单位面积进入导体的能量为 S E H v v v = × 其中 H k E i n E v v v v v = × = ( + ) × 1 1 β α ωµ ωµ 其平均值为 2 0 * 2 Re( ) 2 1 S E H E ωµ β = × = v v v 在导体内部 ( ) 0 z i z t J E E e e α β ω σ σ − − = = v v v 所以金属导体单位面积那消耗的焦耳热的平均值为 z dQ J E E e α σ 2 2 0 * 2 1 Re( ) 2 1 − = × = v v 作积分 2 0 0 2 2 0 2 4 1 Q E e dz E z α σ σ α = = ∫ ∞ − 即得单位面积对应的导体中消耗的平均焦 耳热 又 2 ωµσ Qαβ = 2 0 2 0 4 2 Q E E ωµ β α σ ∴ = = 原题得证. 7 已知海水的 1 1, 1 − µ r = σ = S ⋅ m 试计算频率ν 为 6 9 50,10 和10 Hz 的三种电磁波在海 水中的透入深度 解 取电磁波以垂直于海水表面的方式入射 透射深度 α ωµσ δ 1 2 = = = 1 Q µ r 7 0 0 4 10− ∴µ = µ µ r = µ = π × Hz 72m 2 50 4 10 1 2 2 1 50 : 1 7 = × × × × ∴ > = = = − ωµσ π π ν 时 δ