《电动力学》课程教学资源（习题解答）第五章 电磁波的辐射

电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射1.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分，写出E和B的这两部分在真空所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。解：在真空中的麦克斯韦方程组是：aEVxE=-aBV×B= μoJ +EoHo%ratV.E=P/,V.B=0G0如果把此方程组中所有的矢量都分解为：无旋的纵场一一用角标L表示，无散的横场一一用角标T表示。E=E,+ET,且V×E,=0,V.E,=0;那么：J=J,+J,,B=B,+B：由于V×B=0，即B无源场，不存在纵场分量；亦是说B,,则B=B,代入上面麦氏方程组：I>VxE=-B:atVx(E, +E,)=V×E +V×E, =V×E, =- B,at2>V.E=AV.(E,+E.)=V.E,+V.E,=V.E/60aEa(E, +ET)3>V×B=μoJ+60oV×Br= H(J +J.)+Coo%ataEL)Er)+(uJ++oHo=(μJ +&ooatatV-(V×B,)=0若两边同时取散度，EL)=0V.(uJ, +eoMoat1

电动力学习题解答参考 第五章 电磁波的辐射 - 1 - 1.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分 写出 E v 和 B v 的这两部分在真空所满足的方程式 并证明电场的无旋部分对应于库仑场 解 在真空中的麦克斯韦方程组是 t E B J t B E ∂ ∂ ∇ × = + ∂ ∂ ∇ × = − v v v v v 0 0µ 0 µ ε , 0 0 ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = v v ε ρ 如果把此方程组中所有的矢量都分解为 无旋的纵场 用角标 L 表示 无散的横场 用角标 T 表示 那么 E EL ET v v v = + 且∇ × = 0 ∇ ⋅ = 0 EL ET v v L T J J J v v v = + B BL BT v v v = + 由于 ∇ × B = 0 v 即 B v 无源场 不存在纵场分量 亦是说 BL B BT v v v ,则 = 代入上面麦氏方程组 1> t B E ∂ ∂ ∇ × = − v v t B E E E E E T L T L T T ∂ ∂ ∇ × + = ∇ × + ∇ × = ∇ × = − v v v v v v ( ) 2> 0 ε ρ ∇ ⋅ E = v 0 ( ) ε ρ ∇ ⋅ EL + ET = ∇ ⋅ EL + ∇ ⋅ ET = ∇ ⋅ EL = v v v v v 3> t E B J ∂ ∂ ∇ × = + v v v 0 0µ 0 µ ε ( ) ( ) T 0 L T 0 0 EL ET t B J J v v v v v + ∂ ∂ ∇ × = µ + + ε µ t E J t E J L L T T ∂ ∂ + + ∂ ∂ = + v v v v 0 0 0 0 0 0 (µ ε µ ) (µ ε µ 若两边同时取散度 ∇ ⋅(∇ × ) = 0 BT v ( ) 0 0 0 0 = ∂ ∂ ∇ ⋅ + t E J T T v v µ ε µ

电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射aE,=0时，上式方成立。.当且仅当J，+oat综上，得麦氏方程的新表示方法：aB.VxETV.E,-atCOETaE,V×B = μo-J, +8oo=0 ：B, = 0MoJ,+EoMoatO证明电场的无旋部分对应库仑场：电场的无旋部分表达式为：V.E,=P引入E,=-V于是有：=-此泊松方程的解，即是静止60电荷在真空中产生的电势分布，那么E，即对应静止电荷产生的库仑场2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若p=0.J=0,则E和B可完全由矢势A决定，若取β=0.这时A满足哪两个方程？解：在线性各向同性均匀非导电介质中，如果令，J=0,p=0，麦氏方程表示为：aBaDVxH-$VxE=-V.D=0:V.B=0a:at其中 D=，HBu由：V.B=0引入势A，使B=V×A则√.B=V.(V×A)=0故，B由矢势A完全决定。把B=V×A 代入V×E=-B有：ataAVx(E+)aA0令E+则：V×(E+=0-Vp=V×(-V0)= 0atatataA则：E=-00-故E有标势A完全决定。at-2-

电动力学习题解答参考 第五章 电磁波的辐射 - 2 - 当且仅当 0 0 0 0时 上式方成立 t E J L L ∂ ∂ ∴ + v v µ ε µ 综上 得麦氏方程的新表示方法 t B E T T ∂ ∂ ∇ × = − v v 0 ε ρ ∇ ⋅ EL = v t E B J T T T ∂ ∂ ∇ × = = + v v v 0 0µ 0 µ ε 0 0 0 0 t E J L L ∂ ∂ + v v µ ε µ = 0 BL v 证明电场的无旋部分对应库仑场 电场的无旋部分表达式为 0 ε ρ ∇ ⋅ EL = v 引入 EL = −∇ϕ v 于是有 0 2 ε ρ ∇ ϕ = − 此泊松方程的解 即是静止 电荷在真空中产生的电势分布 那么 EL v 即对应静止电荷产生的库仑场 2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中 若 = 0, J = 0, r ρ 则 E 和 B 可完全由矢势 A 决 定 若取ϕ = 0, 这时 A 满足哪两个方程 解 在线性各向同性均匀非导电介质中 如果令 J = 0, ρ = 0 v 麦氏方程表示为 ; t B E ∂ ∂ ∇ × = − v v t D H ∂ ∂ ∇ × = v v ∇ ⋅ D = 0 v ∇ ⋅ B = 0 v 其中 D E v v = ε µ B H v v = 由 ∇ ⋅ B = 0 v 引入矢势 A v 使 B A v v = ∇ × 则 ∇ ⋅ B = ∇ ⋅(∇ × A) = 0 v v 故 B v 由矢势 A v 完全决定 把 B A v v = ∇ × 代入 ; t B E ∂ ∂ ∇ × = − v v 有 ( ) = 0 ∂ ∂ ∇ × + t A E v v 令 = −∇ϕ ∂ ∂ + t A E v v 则 ( ) = ∇ × (−∇ ) = 0 ∂ ∂ ∇ × + ϕ t A E v v 则 t A E ∂ ∂ = −∂ − v v ϕ 故 E v 有标势 A v 完全决定

电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射VxH_aD如果取=0，有：B=V×A代入方程atE--aAV.D=0ataDaE有：I>V×H=VxB=eatata.aAV×(V×A)=刀1atata?A=0= ×(V×A)+at?%(v.A)=02>V.D=0:at由于取=0，库仑规范V.A=0，与洛伦兹规范V.A+22=0相同c2 at.由1>2>得：A满足的方程有：V.A=0aA=0at3.证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势A(のT)表示，其中T=t-，A垂直于Z轴方向。证：对于沿z轴传播的任意一平面电磁波E，B，可写作：E= Eoe,ei(k-on)B= Be,e(k-on)满足：1）E,B均垂直于传播方向é2）E.B相互垂直，E×B沿k方向3）E,B同相，振幅比为u（真空中为c)-io(-)h=0= Age.ei(k-or)故，不妨取A=Aé,ec-3 -

电动力学习题解答参考 第五章 电磁波的辐射 - 3 - 如果取ϕ = 0 有 B A v v = ∇ × 代入方程 t D H ∂ ∂ ∇ × = v v t A E ∂ ∂ = − v v ∇ ⋅ D = 0 v 有 1> t D H ∂ ∂ ∇ × = v v t E B ∂ ∂ ∇ × = v v εµ ⇒ ( ) ( ) t A t A ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ × ∇ × = − v v εµ ⇒ ( ) 0 2 2 = ∂ ∂ ∇ × ∇ × + t A A v v εµ 2>∇ ⋅ D = 0 v (∇ ⋅ ) = 0 ∂ ∂ A t v 由于取ϕ = 0 库仑规范∇ ⋅ A = 0 v 与洛伦兹规范 0 1 2 = ∂ ∂ ∇ ⋅ + c t A v ϕ 相同 ∴由 1>2>得 A v 满足的方程有 ∇ ⋅ A = 0 v 0 2 2 = ∂ ∂ ∇ − t A A v v εµ 3. 证明沿 z 轴方向传播的平面电磁波可用矢势 A(ωτ ) v 表示 其中 c z τ = t − A 垂直于 z 轴方向 证 对于沿 z 轴传播的任意一平面电磁波 E B v v , 可写作 ( ) 0 ( ) 0 i kz t y i kz t x B B e e E E e e ω ω − − = = v v v v 满足 1 E B v v , 均垂直于传播方向 z e v 2 E B v v , 相互垂直 E B v v × 沿 k v 方向 3 E B v v , 同相 振幅比为υ 真空中为 c 故 不妨取 , ( ) 0 ( ) 0 i kz t x c z i t x A A e e A e e ω ω − − − = = v v v c k ω =

电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射aA...B-VxA-$ei(k-er(1)é.=ikAé.eOzE=_QA=i0Aerei(k-an)(2)at可见，如果令kA。=B，A。=E。，表达式（1）（2）可表示的波正是符合条件的平面波，所以命题得证。4.设真空中矢势A(x,t)可用复数傅立叶展开为A(x,t)=[a,(1)ek+ai(t)e-i-],其中a是a,的复共轭。(1）证明a,满足谐振子方程"a+RPca(1)=0。dt?(2）当选取规范V.A=0,β=0时，证明k·a,=0。（3）把E和B用a和a表示出来。解：(1) 证明： A(x,t)=[a (0)e%示 +a;(0)e-元].根据傅立叶级数得正交性，必有：ax (t)=[A(x, 1)eik dxd'ar(t)r0 A(x,1) k dx(1)dt?at?1 ?A而洛仑兹变换时，矢势A满足方程√2A-ca=-Mo在真空中，=0，故，="c?at?d'a()-[ek-(c2V2A)dx：（1）式化为dt?而 k2c2a,()=[k2c2A(x,1)eKdxda,+ ca ()= J[e2vA(,)+ cA(,)ed于是：(2)dt?: A(x,)=E[a (0)e +a(0)e-]-4-

电动力学习题解答参考 第五章 电磁波的辐射 - 4 - ( ) 0 i kz t y y x e ikA e e z A B A −ω = ∂ ∂ ∴ = ∇ × = v v v v 1 ( ) 0 i kz t x i A e e t A E ω ω − = ∂ ∂ = − v v 2 可见 如果令 0 0 0 0 kA = B ,ωA = E 表达式 1 2 可表示的波正是符合条件的平面波 所以命题得证 4. 设真空中矢势 A(x,t) v v 可用复数傅立叶展开为 ∑ ⋅ − ⋅ = + k ik x k ik x k A(x,t) [a (t)e a (t)e ] * v v v v v v ,其中 * k a v 是 k a v 的复共轭 1 证明 k a v 满足谐振子方程 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 + k c a t = dt d a t k k v v 2 当选取规范∇ ⋅ A = 0,ϕ = 0 v 时 证明 ⋅ = 0 k k a v v 3 把 E B v v 和 用 k a v 和 * k a v 表示出来 解 1 证明 ∑ ⋅ − ⋅ = + k ik x k ik x k A(x,t) [a (t)e a (t)e ] * v v v v v v v v Q ∴ 根据傅立叶级数得正交性 必有 ∫ ⋅ a t = A x t e dx ik x k v v v v v v ( ) ( , ) ∫ ⋅ ∂ ∂ ∴ = e dx t A x t dt d a t k ik x v v v v v 2 2 2 2 ( ) ( , ) 1 而洛仑兹变换时 矢势 A v 满足方程 J t A c A v v v 2 0 2 2 2 1 = −µ ∂ ∂ ∇ − 在真空中 J = 0 v 故 2 2 2 2 1 t A c A ∂ ∂ ∇ = v v ∴ 1 式化为 ∫ = ∇ ⋅ e c A dx dt d a t k ik x v v v v v ( ) ( ) 2 2 2 2 而 ∫ ⋅ k c a t = k c A x t e dx ik x k v v v v v v ( ) ( , ) 2 2 2 2 于是 ∫ ⋅ + k c a t = c ∇ A x t + k c A x t e dx dt d a t ik x k k v v v v v v v v v ( ) [ ( , ) ( , )] ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∑ ⋅ − ⋅ = + k ik x k ik x k A(x,t) [a (t)e a (t)e ] * v v v v v v v v Q

电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射.. V? A(x,t) = -k? A(x,t)：（2）式右边的积分式中，被积函数为0，积分为0。da,+kca()=0，亦即a满足谐振子方程。dt?2）选取规范V.A=0,β=0，于是有.A-.E[ar (t)ek +ax (t)e-ik]-E[ar (t)V.eik- +a (t)V.e-iks]-E[K.as()-iek-k.ai(t)-ie-k]=0：a(t),a()是线性无关的正交组要使上式成立，仅当k.a,=k·a=0时.故，证得当取V.A=0,p=0时，k·a=03) 已知A(x,t)=Z[a(t)e%- +a (0)e-示].. B=VxA-[ikax (t)ex- -ika,()e-i- ]aA-2+ d@]E=-Vo-（取规范V.A=0,β=0)atdtdtk5.设A和@是满足洛伦兹规范的矢势和标势。1 az（1）引入一矢量函数Z(,t）（赫兹矢量），若令β=.Z，证明A=c? at(2）若令=-V.P证明2满足方程2-=-cuoP，写出在真空中的推?at?迟解。(3）证明E和B可通过Z用下列公式表出，E=V×(V×2)-c'u.P,B=%×2c?at解：1）证明：A与β满足洛仑兹规范，故有V.A+1%=0at：β=-V.Z代入洛仑兹规范，有：V.A+.01az(-V.Z)=0,即V.A=V(c2atc2 at-5-

电动力学习题解答参考 第五章 电磁波的辐射 - 5 - ( , ) ( , ) 2 2 A x t k A x t v v v v ∴∇ = − ∴ 2 式右边的积分式中 被积函数为 0 积分为 0 ∴ ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 + k c a t = dt d a t k k v v 亦即 k a v 满足谐振子方程 2 选取规范∇ ⋅ A = 0,ϕ = 0 v 于是有 ∑ ∑ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ k ik x k ik x k k ik x k ik x k A [a (t)e a (t)e ] [a (t) e a (t) e ] * v v v v v v v v v v v v v [ ( ) ( ) ] 0 * = ∑ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ k ik x k ik x k k a t ie k a t ie v v v v v v v v ( ), ( ) * a t a t k k v v Q 是线性无关的正交组 ∴要使上式成立 仅当 0 * k ⋅ ak = k ⋅ ak = v v v v 时 ∴故 证得当取∇ ⋅ A = 0,ϕ = 0 v 时 ⋅ = 0 k k a v v 3 已知 ∑ ⋅ − ⋅ = + k ik x k ik x k A(x,t) [a (t)e a (t)e ] * v v v v v v v v ∑ ⋅ − ⋅ ∴ = ∇ × = − k ik x k ik x k B A [ika (t)e ika (t)e ] * v v v v v v v v v ∑ ⋅ − ⋅ = − + ∂ ∂ = −∇ − k k ik x k ik x e dt da t e dt da t t A E ] ( ) ( ) [ * v v v v v v v v ϕ 取规范∇ ⋅ A = 0,ϕ = 0) v 5. 设 A v 和ϕ 是满足洛伦兹规范的矢势和标势 1 引入一矢量函数 Z(x,t) v v 赫兹矢量 若令 Z v ϕ = ∇ ⋅ 证明 t Z c A ∂ ∂ = v v 2 1 2 若令 P v ρ = −∇ ⋅ 证明 Z v 满足方程 c P t Z c Z v v v 0 2 2 2 2 2 1 = − µ ∂ ∂ ∇ − 写出在真空中的推 迟解 3 证明 E B v v 和 可通过 Z v 用下列公式表出 E Z c P v v v 0 2 = ∇ × (∇ × ) − µ , Z c t B v v ∇ × ∂ ∂ = 2 1 解 1 证明 A v 与ϕ 满足洛仑兹规范 故有 0 1 2 = ∂ ∂ ∇ ⋅ + c t A v ϕ = −∇ ⋅ Ζ v Qϕ 代入洛仑兹规范 有 ( ) 0 1 2 −∇ ⋅ Ζ = ∂ ∂ ∇ ⋅ + ⋅ v v c t A 即 ) 1 ( 2 c t A ∂ ∂Ζ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ v v