2.有导体存在时的唯一性定理1两类问题：有导体存在时，确定电场需要条件：要么每个导体上的电势；要么每个导体上的总电荷。第一类型：为简单，考虑区域内2S只含一种均匀介质情形。除去导体SVI内部后的区域V'。V边界包含S和每个导体表面S。S2已知的导体电势即成了讨论区域V'的部分边界条件，该问题就完全与前面证明过的一致
2. 有导体存在时的唯一性定理 ① 两类问题：有导体存在时，确定电场需要条件：要么 每个导体上的电势；要么每个导体上的总电荷。 2 S S1 V S ➢ 已知的导体电势即成了讨论区域 V΄的部分边界条件，该问题就完 全与前面证明过的一致。 ② 第一类型：为简单，考虑区域内 只含一种均匀介质情形。除去导体 内部后的区域V΄ 。V΄边界包含S΄和 每个导体表面Si
第二类型：3表述：给定导体外电荷分布P，导体以外满足泊松2V=-方程：8同时给定各导体上的总电荷Q，在第i个导体上满足总电荷条件和等势面条件：Ods=Qils. = P,=常量andJs, On以及在V的边界S上具有给定的：apor?Onls则V内电场完全确定
= = = 常量 − S i i S i i and Q dS n 以及在V的边界S上具有给定的： S S n or 则V内电场完全确定 ➢ 同时给定各导体上的总电荷Qi，在第i个导体上满足 总电荷条件和等势面条件： = − 2 ③ 第二类型： a) 表述：给定导体外电荷分布ρ，导体以外满足泊松 方程：
b)证明：：反正法设有两组不同的解β和β”满足上述条件，令β=p'-">则?满足Vp=0 (V内)dS = O, and pls, =常量Js; Onap=0orons>对区域V'用高斯公式fpVp.dS =(v (pVp)dv
➢则φ满足 b) 证明：反正法 ➢ 设有两组不同的解 和 满足上述条件，令 = − ( ) = = = = − = 0, 0 0, 0 2 S S S S n or dS and n V i i 常量 内 ➢对区域V΄用高斯公式 S ( ) V S V d = d
.Vp.ds = ( (Vo)dV+ ?pd>左边积分区域为S'=S+Si.pvp.ds =f.p.ds+fpVp.dsS上的法线指向导体内doS上或的法ds=0-部，aplon是导体表面向导数为零，iJs.an法向导数。S，上是常积分为零量。此积分为零。=0>即有右边为零，即而p=0，积分为零。J.(V0) dV + . pd=0>必有=0，即=常量。和只差一常量
( ) = + S V V dS dV dV 2 2 ➢左边积分区域为S΄=S+Si， 0 0 = = − = + i i S i S S S dS n dS dS dS S上φ或φ 的法 向导数为零， 积分为零 Si上的法线指向导体内 部， 是导体表面 法向导数。Si上φ是常 量。此积分为零。 n ➢即有右边为零，即 ( ) 0 2 2 + = V V dV dV 而 2 = 0 ，积分为零。 ➢必有▽φ=0，即φ =常量。φ ΄和φ ΄΄只差一常量
说明：>唯一性定律是求解静电问题指导。不论用什么方法（包括试探）得到满足条件的解，一定是问题的唯一解；当确定了导体外的电势，导体上的面密度亦能确定。=Oonls;3.例题[例1]有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上，介质的介电常数分别是&1与&2。若导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷分布解：设导体球上下半球各自带电量为91和q2，则Q=q1+q2又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即
说明： ➢ 唯一性定律是求解静电问题指导。不论用什么方法（包 括试探）得到满足条件的解，一定是问题的唯一解； ➢ 当确定了导体外的电势，导体上的面密度亦能确定。 = − i 3. 例题 n S [例1]有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限 大介质的分界面上，介质的介电常数分别是ε1与ε2。若 导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷分布 解: 设导体球上下半球各自带电量为q1和q2 ，则Q=q1+q2 又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即