《电动力学》课程教学资源（习题解答）第一章 电磁现象的普遍规律

电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符√的微分性与矢量性，推导下列公式：V(A.B)= B×(V×A)+(B.V)A+Ax(V×B)+(A.V)B1-vA? -(A.V)AAx(V×A)=2解: 1) V(A.B)=B×(V×A)+(B.V)A+Ax(V×B)+(A.V)B首先，算符√是一个微分算符，其具有对其后所有表达式起微分的作用，对于本题，V将作用于A和B。又是一个矢量算符，具有矢量的所有性质。因此，利用公式cx（axb）=a·(c·b)-（c·a)b可得上式，其中右边前两项是V作用于A，后两项是√作用于B2）根据第一个公式，令A=B可得证。2.设u是空间坐标x，y，z的函数，证明：dfuVf(u) =dudAV.A(u) = Vu.dudAVxA(u)=Vuxdu证明：1)df+dfoudfoudfaf(u)f(u)af(u)auexVf(u) =Vue.21VaxOzOaxaydudu.oydudu2)aA,(u)dA,(u)aAr(u)A.z(u)dAr(u) OuQudA,(u),dAauV.A(u)VuazaxOzduaxdudzayaydu3)ee.e,aaAaA,aaAOA.aaA.aAV× A(u) =)e,)e.-)e.+.+(axOzaydzaxdyOzaxdy[Ax(n)A.(u)A.(u)1

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 1 - 1. 根据算符∇ 的微分性与矢量性 推导下列公式 A B B A B A A B A B r r r r r r r r r r ∇( ⋅ ) = × (∇ × ) + ( ⋅∇) + × (∇ × ) + ( ⋅∇) A A A A A r r r r r ( ) 2 1 ( ) 2 × ∇ × = ∇ − ⋅∇ 解 1 A B B A B A A B A B v v v v v v v v v v ∇( ⋅ ) = × (∇ × ) + ( ⋅∇) + × (∇ × ) + ( ⋅∇) 首先 算符∇ 是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 ∇ 将作用于 A B v v 和 又∇ 是一个矢量算符 具有矢量的所有性质 因此 利用公式 c a b a c b c a b v v v v v v v v v × ( × ) = ⋅( ⋅ ) − ( ⋅ ) 可得上式 其中右边前两项是 ∇ 作用于 A v 后两项是∇ 作用于 B v 2 根据第一个公式 令 A v B v 可得证 2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明 ( ) . ( ) ( ) du dA A u u du dA A u u u du df f u r r r r ∇ × = ∇ × ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ 证明 1 u du df e z u du df e y u du df e du df e z f u e y f u e x f u f u x y z x u x y z = ∇ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = ∂ ∂ ( ) r ( ) r ( ) r r r r ( ) 2 du dA u z u dz dA u y u du dA u x u du dA u z A z u y A u x A u A u x y z x y z r r r r r r r r = ∇ ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ = ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ × = z y x y x z x z y x u y z x y z e y A x A e x A z A e z A y A A A u A u x y z e e e A u r r r r r r r r r r r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

电动力学习题解答第一电磁现象的普遍规律章daou_daoudA. ouda, OudA, oudA, OudADe.=Vux+du Oyduzdu zduoxdu axduoydu3.设r=(x-x）2+（y-y）2+（=-z）为源点x到场点x的距离，r的方向规定为从源点指向场点。aa01）证明下列结果，并体会对源变数求微商（V+é+é.)与对场变数求3=eo2axYayaaate微商（V=éte)的关系。axOzyyrrFrVr=-Vr0.V.VVV=0.(r+0)33r313rP（最后一式在人r二0点不成立，见第二章第五节）。2) 求.r,x,(a.)r,V(a.),.[Esin(k.)]及x[Esin(k.r)],其中a,k及E,均为常矢量。证明：V=(-))()=3axOzayexe,.aaaVxr==0OzaxayZ-Nx-xy-yOa.aé.)][(x-x)e, +(y-y')e, +(z -z)e.](a.V)r=[(aé,+a,é, +a.é.)-(ér0.axayyzaaa=(a.+ay+a.)[(x- x)e, +(y-y')e, +(z-z')e.]yoyaxOz=ae+ae,+aé.=aV(a.r)=ax(Vxr)+(a.V)r+rx(V×a)+(r.V).a=(a.V)r+rx(Vxa)+(r.a).a=a+rx(Vxa)+(r.V).aV.[E, sin(k.r)]=[V(sin(k.r)] E, + sin(k.r)(V.E.)-2-

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 2 - du dA e u y u du dA x u du dA e x u du dA z u du dA e z u du dA y u du dA z y x y x z x y z r r r r r r r r r r = ∇ × ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ( ) ( ) ( ) 3. 设 ' 2 ' 2 ' 2 r = (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) 为源点 ' x 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从 源点指向场点 1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 ( ) ' ' ' ' z e y e x ex y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = r r r 与对场变数求 微商( ) z e y e x ex y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = r r r 的关系 , 0, 0.( 0) 1 1 , 3 ' 3 3 3 ' ' ∇ = −∇ = ∇ = −∇ = − ∇ × = ∇ ⋅ = −∇ = r ≠ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r (最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节) 2 求 r, r,(a )r, (a r), [E0 sin(k r)]及 [E0 sin(k r)],其中a, k及E0均为常矢量 r r r r r r r r r r r r r r r ∇ ⋅ ∇ × ⋅∇ ∇ ⋅ ∇ ⋅ ⋅ ∇ × ⋅ 证明 3 ( ) ( ) ( ) ' ' ' = ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ∇ ⋅ = z z z y y y x x x r r 0 ' ' ' = − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ × = x x y y z z x y z e e e r x y z r r r r ( ) [( ) ( )][( ') ( ') ( ') ] x x y y z z x y z x y z e x x e y y e z z e z e y e x a r a e a e a e v r v v v v v v v r v − + − + − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∇ = + + ⋅ ( )[( ') ( ') ( ') ] x y z x y z x x e y y e z z e z a y a x a v r v − + − + − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = a e a e a e a x x y y z z v v v v = + + = a r a r a r r a r a v v v v v v r v v v ∇( ⋅ ) = × (∇ × ) + ( ⋅∇) + × (∇ × ) + ( ⋅∇)⋅ a r r a r a a v v v v v r v = ( ⋅∇) + ×(∇× ) + ( ⋅ )⋅ a r a r a v v v v v = + × (∇ × ) + ( ⋅∇)⋅ [ sin( )] [ (sin( )] sin( )( ) 0 0 E0 E k r k r E k r r r r r r r r r r ∇ ⋅ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅ + ⋅ ∇ ⋅

电动力学习题解答电磁现象的普逸规律第一aa0-sin(k-r)e, +sin(k.F)e, +-sin(k.)e.JEOyOzax=cos(k.P)(k.e,+k,e,+k.e.)E=cos(k.r)(k.E)V×[E, sin(k.r)]=[Vsin(k.r)]xE,+sin(k.P)Vx E4.应用高斯定理证明.dxj=$dsxj应用斯托克斯（Stokes）定理证明J,dsxVo=fdio证明：1)由高斯定理.dv.g= fas.g即: 1(% + 28 + 2%)dV =f.gds, + g,ds, + g.ds:axyz而[-[/1-是+是1-最)+最-最,f.)kjdvaxyaxoy-%,-f.i)+%(i-fh)+j-J,i)]avovOz又：$asxj=$[(f.ds,-f,ds.)i+(fds.-f.ds)j+(f,ds,-frds,)k]=f(,k -f.j)ds, +(fi -fk)ds, +(f.j - f,i)das若令H,=fk-f.j,H,=fi-fk,Hz=fJ-f,i则上式就是：[v.HdV=fds·H,高斯定理，则证毕。2)由斯托克斯公式有：ff.di=f,vxj.ds$.ai=f(f,dl, +f,dl,+f.d.)[-1最-最)+是-f.)ds.f.)ds0-QxOx而i=)-3 -

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 3 - 0 [ sin( ) sin( ) sin(k r)e ]E z k r e y k r e x x y z r r r r r r r r r ⋅ ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ = cos( )( ) cos( )( ) k r kx ex k y ey kzez E0 k r k E r r r r r r r r r r = ⋅ + + = ⋅ ⋅ 0 0 0 [E sin(k r)] [ sin(k r)] E sin(k r) E r r r r r r r r r ∇ × ⋅ = ∇ ⋅ × + ⋅ ∇ × 4. 应用高斯定理证明 ∫ ∫ ∇ × = × V S dV f dS f r r r 应用斯托克斯 Stokes 定理证明 ∫ ∫ ×∇ = S L dS φ dl φ r r 证明 1)由高斯定理 ∫ ∫ ∇ ⋅ = ⋅ V S dV g dS g r r r 即 ∫ ∫ = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ S x x y y z z V x y z dV g dS g dS g dS z g y g x g ( ) 而 f k dV y f x f j x f z f i z f y fdV z y x z y x V [( ) ( ) ( ) ] r r r r ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ × = ∫ ∫ ∫ − ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + ∂ ∂ = f j f i dV z f i f k y f k f j x y z z x x y [ ( ) ( ) ( )] r r r r r r 又 dS f [( f dS f dS )i ( f dS f dS ) j ( f dS f dS )k ] y S z y y z x z z x y x x S r r r r r ∫ ∫ × = − + − + − ∫ = y − z x + z − x y + x − y dSz ( f k f j)dS ( f i f k )dS ( f j f i ) r r r r r r 若令 H f k f j H f i f k H f j f i x y z y z x Z x y r r r r r r = − , = − , = − 则上式就是 ∫ ∫ ∇ ⋅ = ⋅ V S HdV dS H r r r ,高斯定理 则证毕 2)由斯托克斯公式有 ∫ ∫ ⋅ = ∇ × ⋅ l S f dl f dS r r r r ∫ ∫ ⋅ = + + l x x y y z z l f dl ( f dl f dl f dl ) r r ∫ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ × ⋅ = S z y x x z y y x z S f dS y f x f dS x f z f dS z f y f dS ( ) ( ) ( ) r r 而 ∫ ∫ = + + l i x j y k z l dl φ (φ dl φ dl φ dl ) r

电动力学习题解答第一电磁现象的普遍规律章ds.)i +(apasaasaddsxV-ds.-ds.ds.)i+-ds.ds.)kOzaxayaxay02kds,-gi)as.+i)ds++(OzOzaxaxoyOy若令J，=,,=Φ,J.=Φ则证毕。5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为：P(t)= [ p(x,1)x'dv,利用电荷守恒定律V.J+%=0证明尸的变化率为：atdP=[J(x,n)dv"dtx证明：atJv atap=-fxdv =-[{(x)-(Vx)-lav =G-- (x7"dv=Jjrdv'-f.ds若 S→,则(x) dS = 0,(ls= 0)同理，=[j,dv=[j.dvdPj(x,t)dv即：dt6.若而是常矢量，证明除 R=0 点以外，矢量A=xRm.R的旋度等于标量β：的梯R3R3度的负值，即VxA=-Vp其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。证明：(mxR)VxA=Vx(-Vx[mx(V-)|=(V-m)V+(m.V)V[V.(V-)]m-[(V).V/mR3RrF- 4 -

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 4 - ∫ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ×∇ = S y z z x x y S dS k x dS y dS j z dS x dS i y dS z dS r r r r ( ) ( ) ( ) φ φ φ φ φ φ φ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = x y z i dS y j x k dS x i z j dS z k y ( ) ( ) ( ) φ r φ r φ r φ r φ r φ r 若令 x i y j z k f = φ , f = φ , f = φ 则证毕 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ( ) ( , ) , ' ' ' ∫ = V P t x t x dV r r r ρ 利用电荷守恒定律 = 0 ∂ ∂ ∇ ⋅ + t J r ρ 证明 P r 的变化率为 ∫ = V J x t dV dt dP ' ' ( , ) r r r 证明 ∫ ∫ = − ∇ ∂ ∂ = ∂ ∂ V V x dV j x dV t t P ' ' ' ' ' ' ' r r r r r ρ ∫ ∫ ∫ = − ∇ = − ∇ ⋅ − ∇ ⋅ = − ∇ ⋅ ∂ ∂ V x V x j x dV x j x j dV j x j dV t P ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( ) [ ( ) ( ) ] ( ( ) r r r r r ∫ ∫ = − ⋅ S j xdV xj dS r r ' 若 → ∞, ( )⋅ = 0,( = 0) ∫ S S xj dS j r r r 则 同理 ∫ ∫ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ' ' ( ) ,( ) j dV t j dV t y y z z ρ ρ r r 即 ∫ = V j x t dV dt dP ' ' ( , ) r r r 6. 若 m r 是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量 3 R m R A r r r × = 的旋度等于标量 3 R m R r r ⋅ ϕ = 的梯 度的负值 即 ∇ × A = −∇ϕ r 其中 R 为坐标原点到场点的距离 方向由原点指向场点 证明 m r m r r m r m R m R m R A v v v v v v v v ) ] 1 )] [( 1 [ ( 1 ( ) 1 )] ( ) 1 [ ( ) ( 3 = −∇ × × ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅∇ ∇ − ∇ ⋅ ∇ − ∇ ⋅∇ × ∇ × = ∇ ×

电动力学习题解答电磁现象的普遍规律第一章=(m.V)V(r#0)Vo=V(m.R(R)--m-(V1=-x[7(V)1-(V) (V×)-(m V)!-[(v]).V)m=-(m.V)>..VxA=-Vp7.有一内外半径分别为r和巧的空心介质球，介质的电容率为6，使介质内均匀带静止自由电荷Pf，求（1）空间各点的电场（2）极化体电荷和极化面电荷分布解：1).ds=Jprdv，(r>r>r,)即：D-4m2=(-)P3.-(-PLt.(n>>n)3ar3由·as--(-r)Pr,(r>n)80380.E-(-)p,r,(r>r)380r3r<r时，E=08-60E=(6-80)E2)P=80xE=8060(r3-r)6-60:. Pp=-V.P=-(c-60)V.E=-(ε-&0)V.(P,rl=-p,V.(r.38.3365= p,(3-0)=-(5-0)p)3gEOp= Pin-P2n考虑外球壳时，r=r2，n从介质1指向介质2（介质指向真空），P2n=0-5-

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 5 - ,( 0) 1 = ( ⋅∇)∇ r ≠ r m v r m m r r m r m R m R 1 ) ( ) ( ) 1 )] ( 1 )] [ ( 1 ( ) [ ( 3 = −∇ ⋅ ∇ = − × ∇ × ∇ − ∇ × ∇ × − ⋅∇ ∇ ⋅ ∇ = ∇ v v v v v v ϕ r m m r 1 ) ] ( ) 1 −[(∇ ⋅∇ = − ⋅∇ ∇ v v ∴∇ × A = −∇ϕ v 7 有一内外半径分别为 r1和 r2的空心介质球 介质的电容率为ε 使介质内均匀带静止自 由电荷 ρ f 求 1 空间各点的电场 2 极化体电荷和极化面电荷分布 解 1 ∫ ∫ D ⋅ dS = f dV S ρ r r , (r2>r>r1) f D r r r ρ π π ( ) 3 4 4 3 1 2 3 即 ⋅ = − ,( ) 3 ( ) 2 1 3 3 1 3 r r r r r r r E f > > − ∴ = r r ε ρ 由 ( ) ,( ) 3 4 2 3 1 3 2 0 0 r r r r Q E dS f f S ⋅ = = − > ∫ ρ ε π ε r r ,( ) 3 ( ) 2 3 0 3 1 3 2 r r r r r r E f > − ∴ = r r ρ ε r r1时 E 0 r < 2) P eE E E r r r r ( ) 0 0 0 0 0 ε ε ε ε ε ε χ ε = − − = ( ) 3 ] 3 ( ) ( ) ( ) [ 3 3 0 1 3 3 1 3 0 0 r r r r r r r r P P E f f r r r r r ∇ ⋅ − − = − − ∴ = −∇ ⋅ = − − ∇ ⋅ = − − ∇ ⋅ ρ ε ε ε ρ ε ρ ε ε ε ε f ρ f ε ε ε ρ ε ε ε (3 0) ( ) 3 0 − 0 − = − − = − σ P = P1n − P2n 考虑外球壳时 r r2 n 从介质 1 指向介质 2 介质指向真空 2 = 0 P n