《电动力学》课程教学资源（习题解答）第三章 静磁场

电动力学习题解答参考第三章静磁场1.试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B。，写出A的两种不同表示式，证明两者之差是无旋场。解：B。是沿z方向的均匀的恒定磁场，即B。=Bé.，且B。=V×AaA,0A, _0Ar)e.OA.OA_QA.)在直角坐标系中，V×A=)e,+()e.+(OzOzOyaxaxayaA._aA,2=0ayo2aA,_aA. =0如果用A在直角坐标系中表示B。，即：OzaxaA,_aA,= 0axdy由此组方程，可看出A有多组解，如：解1:A,=Az=0,A,=-Boy+f(x)A=[-Boy+ f(x)je,即：解2:A,=A,=0,Ay=B,x+g(y)即：A=[Box+ g(y)]je,解1和解2之差为：A=[-Boy+f(x)je,-[Box+g(y)]e则：Vx(AM) =[(M): _ 0(M),10(M), _a(M)je:E +[(M)_a(M)1Te+OzOzaxaxdyay=0这说明两者之差是无旋场。2．均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流强度为I，试用唯一性定理求管内外磁感应强度B。解：根据题意，得右图，取螺线管的中轴线为z轴本题给定了空间中的电流分布，故可由B=。dV"求解磁场分布，又j在导4元r线上，所以B=Jdi×734元／1）螺线管内：由于螺线管是无限长理想螺线管，故，由电磁学的有关知识知，其内部磁-1-

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 1 - 1. 试用 A r 表示一个沿 z 方向的均匀恒定磁场 B0 r 写出 A r 的两种不同表示式 证明两者之 差是无旋场 解 B0 r 是沿 z 方向的均匀的恒定磁场 即 z B Be r r 0 = 且 B A r r 0 = ∇ × 在直角坐标系中 z y x y x z x z y e y A x A e x A z A e z A y A A r r r r ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ × = 如果用 A r 在直角坐标系中表示 B0 r 即          = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 0 0 0 y A x A x A z A z A y A y x x z y z 由此组方程 可看出 A r 有多组解 如 解 1 0, ( ) 0 A A A B y f x y = Z = x = − + 即 x A B y f x e r r [ ( )] = − 0 + 解 2 0, ( ) 0 A A A B x g y x = z = Y = + 即 y A B x g y e r r [ ( )] = 0 + 解 1 和解 2 之差为 x y A B y f x e B x g y e r r r [ ( )] [ ( )] ∆ = − 0 + − 0 + 则 z y x y x z x z y e y A x A e x A z A e z A y A A r r r r ] ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) [ ∂ ∂ ∆ − ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ − ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ − ∂ ∂ ∆ ∇ × ∆ = 0 这说明两者之差是无旋场 2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管 每单位长度线圈匝数为 n 电流强度为 I 试用唯一性定 理求管内外磁感应强度 B 解 根据题意 得右图 取螺线管的中轴线为 z 轴 本题给定了空间中的电流分布 故可由 ∫ × = ' 4 3 0 dV r J r B r r r π µ 求解磁场分布 又 J r 在导 线上 所以 ∫ × = 3 0 4 r Jdl r B r r r π µ 1 螺线管内 由于螺线管是无限长理想螺线管 故 由电磁学的有关知识知 其内部磁

电动力学习题解答参考第三章静磁场场是均匀强磁场，故只须求出其中轴线上的磁感应强度，即可知道管内磁场。由其无限长的特性，不妨取场点为零点，以柱坐标计算：F=-acospé,-asinp'é,-ze,di =-adp'.sing'é,+adp'.cosp'é,:.dixr=(-adpsinp'e.+adpcosp'é)x(-acosp'e-asinp'e,-z'e.)=-az'cosp'dp'é,-az'sinp'dp'é, +a'dp'e取由z-=+dz'的以小段，此段上分布有电流nldz. = wd'(-a'cosp'do'e, -a'sing'dp', +a'd'2)4元[α’ +(=)ja'dzHo'dpnlμo"nle.=nuol4元。2[a? +(2)][(三) +1%2)螺线管外部：由于是无限长螺线管，不妨就在xoy平面上任取一点P(p,p.0)为场点(p>a)=-刘=pcosp-acosp)?+(psinp-asingp')+22p?+a+22-2apcos(p-p')r=x-x=(pcosp-acosp')e,+(psinp-asinp')e,-zedi =-adp'-sinp'é,+adp'cosp'é,..di xF = -az'cosp'dp'er -az'sin p'dp'é, +[a? -apcos(p'-p)]dp'é... fo.mitf douja.cosg'de"e,d'+ Jdo'j-a'sing'doé,dz+r3r34元00a? -apcos('- dz'e.]+[dp'[r30由于磁场分布在本题中有轴对称性，而螺线管内部又是勾强磁场，且螺线管又是无限长，故不会有磁力线穿出螺线管，上述积分为0，所以B=0。- 2 -

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 2 - 场是均匀强磁场 故只须求出其中轴线上的磁感应强度 即可知道管内磁场 由其无限长的特性 不妨取场点为零点 以柱坐标计算 x y x r a e a e z e r r r r = − cosϕ' − sinϕ' − ' x y dl ad e ad e r r r = − ϕ'⋅sinϕ' + ϕ'⋅cosϕ' ( ' sin ' ' cos ' ) ( cos ' sin ' ' ) x y x y x dl r ad e ad e a e a e z e r r r r r r r ∴ × = − ϕ ⋅ ϕ + ϕ ⋅ ϕ × − ϕ − ϕ − x y z az d e az d e a d e r r r 'cos ' ' 'sin ' ' ' 2 = − ϕ ϕ − ϕ ϕ + ϕ 取由 z'−z'+dz' 的以小段 此段上分布有电流 nIdz' ∫ + − − + ∴ = 2 3 2 2 2 0 [ ( ') ] '( 'cos ' ' 'sin ' ' ' ) 4 a z nJdz az d e az d e a d e B x y z r r r r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π µ n I a z a z d nI nIe a z a dz d z 0 2 3 2 0 2 3 2 2 2 2 0 0 ) 1] ' [( ) ' ( 2 [ ( ') ] ' ' 4 µ µ ϕ π µ π = + ⋅ = + = ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ ∞ −∞ r 2)螺线管外部:由于是无限长螺线管 不妨就在 xoy 平面上任取一点 P(ρ,ϕ.0) 为场点 (ρ > a) 2 2 2 ∴ r = x − x' = (ρ cosϕ − a cosϕ') + (ρ sinϕ − asinϕ') + z' r r ' 2 cos( ') 2 2 2 = ρ + a + z − aρ ϕ −ϕ r = x − x'= ( r r r x a e r ρ cosϕ − cosϕ') y z a e z e r r (ρ sinϕ − sinϕ') − ' x y dl ad e ad e r r r = − ϕ'⋅sinϕ' + ϕ'⋅cosϕ' x y z dl r az d e az d e a a d e r r r r r 'cos ' ' 'sin ' ' [ cos( ' )] ' 2 ∴ × = − ϕ ϕ − ϕ ϕ + − ρ ϕ −ϕ ϕ ∴ = ⋅ − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ' 'sin ' ' ' ' 'cos ' ' [ ' 4 3 2 0 3 2 0 0 e dz r az d e dz d r az d B nI d x y r r r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π µ π π ' ] cos( ' ) ' 3 2 2 0 ∫ ∫ ∞ −∞ − − + z dz e r a a d ρ ϕ ϕ r ϕ π 由于磁场分布在本题中有轴对称性 而螺线管内部又是匀强磁场 且螺线管又是无限 长 故不会有磁力线穿出螺线管 上述积分为 0 所以 B = 0 r

电动力学习题解答参考第三章静磁场3.设有无究长的线电流I沿z轴流动，以7<0空间充满磁导率为U的均匀介质，7>0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B，然后求出磁化电流分布。解：本题的定解问题为：[v2A, = -μoj,(2 >0)V2A =-,(2<0)A, = A2/--0[0 - Luμo由本题具有轴对称性，可得出两个泛定方程的特解为：A (3) = 0 [ 1di4元rA(3)=ldi4元JrMoég,(z>0)2元B-由此可推测本题的可能解是：μulég,(z<0)2元验证边界条件：1）A,=A[-0,即n(B,-B)=0题中，n=é.,且e.é。=0，所以边界条件1）满足。2) v×A|=0 =-×A|0,即×(H, -H,)=0ulo本题中介质分界面上无自由电流密度，又B-IH, =e2元μoB,1H,=ee2元：H-H=0,满足边界条件nx（H,-H)=0[og,(>0)2元综上所述，由唯一性定理可得，本题有唯一解：B=ulég,(z<0)2元BB2_H在介质中，H=-M，故在z<0的介质中，M=μoμo-3-

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 3 - 3. 设有无穷长的线电流 I 沿 z 轴流动 以 z<0 空间充满磁导率为 µ 的均匀介质 z>0 区 域为真空 试用唯一性定理求磁感应强度 B 然后求出磁化电流分布 解 本题的定解问题为          ∇ × = ∇ × = ∇ = − < ∇ = − > = = = 1 0 0 2 0 1 2 0 2 2 1 0 2 1 1 ,( 0) ,( 0) z z z A A A A A J z A J z r r r r r r r r µ µ µ µ 由本题具有轴对称性 可得出两个泛定方程的特解为 ∫ ∫ = = r Idl A x r Idl A x r r r r r r π µ π µ 4 ( ) 4 ( ) 2 0 1 由此可推测本题的可能解是        < > = ,( 0) 2 ,( 0) 2 0 e z r I e z r I B θ θ π µ π µ r r r 验证边界条件 1 , ( ) 0 A1 = A2 z=0 n ⋅ B2 − B1 = r r r r r 即 题中 n = e , e ⋅ eθ = 0 z z r r r r 且 所以边界条件 1 满足 2 , ( ) 0 1 1 1 0 2 1 0 ∇ × A2 z=0 = ∇ × A z= n × H − H = r r r r r 即 µ µ 本题中介质分界面上无自由电流密度 又 θ θ µ π µ π e r B I H e r B I H r r r r r r 2 2 2 2 0 1 1 = = = = 0, ∴ H2 − H1 = r r 满足边界条件 ( ) 0 n × H2 − H1 = r r r 综上所述 由唯一性定理可得 本题有唯一解        < > = ,( 0) 2 ,( 0) 2 0 e z r I e z r I B θ θ π µ π µ r r r 在介质中 M B H r r r = − µ 0 故在 z<0 的介质中 2 0 2 H B M r r r = − µ

电动力学习题解答参考第三章 静磁场IL.He.I(H-1ee即：M=e.2μo2元2元μ0介质界面上的磁化电流密度：II(-1)e,-1)egxe.am=Mxn2元rμo2元μ0-(μ-1)e。·r·dp·,=I(二-1), 电流总的感应电流：JM=M-dl=12元Hoo在z<0的空间中，沿z轴流向介质分界面。4.设x<0半空间充满磁导率为u的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。解：假设本题中得磁场分布仍呈轴对称，则可写作B=uTe2元rn-(B, -B)=0其满足边界条件：nx(H,-H)=α=0即可得，在介质中：Bu'lH, =e2元ruμBu'l公而H,e.-M2r0Moμlμ-HoeM=：在x<0的介质中，2元o则IM=Mdi，取积分路线为B→C→A→B的半圆。:ABle.,AB段积分为零Iw = I"(μ-M)2μpo.. B= Ho(I+IM)a2元r:由4o(I+/M)2μpo=B=-ulé，可得μ2元2元μ+μo- 4 -

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 4 - 即 θ θ θ µ µ µ π π µ π e r I e r I e r I M r r r r ( 1) 2 2 2 0 0 = ⋅ − = − ∴ 介质界面上的磁化电流密度 M z r e r I e e r I M n r r r r r r ( 1) 2 ( 1) 2 0 0 = × = − × = − µ µ µ π µ π α θ 总的感应电流 ( 1) ( 1) 2 0 2 0 0 = ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ∫ ∫ µ µ ϕ µ µ π π θ θ e r d e I r I J M dl M r r r r 电流 在 z<0 的空间中 沿 z 轴流向介质分界面 4. 设 x<0 半空间充满磁导率为 µ 的均匀介质 x>0 空间为真空 今有线电流 I 沿 z 轴流 动 求磁感应强度和磁化电流分布 解 假设本题中得磁场分布仍呈轴对称 则可写作 ϕ π µ e r I B v v 2 ′ = 其满足边界条件 ( ) 0 ( ) 0 2 1 2 1 × − = = ⋅ − = α v v v v v v v n H H n B B 即可得 在介质中 ϕ π µ µ µ e r B I H v v v 2 2 ′ = = 而 e M r I M B H v v v v v − ′ = − = ϕ π µ µ µ 0 0 2 2 ∴在 x<0 的介质中 ϕ µµ µ µ π µ e r I M v v 0 0 2 ′ − = 则 ∫ I = Mdl M v v 取积分路线为 B → C → A → B 的半圆 , ϕ AB e v Q ⊥ ∴ AB 段积分为零 0 0 2 ( ) µµ µ′ µ − µ = I I M ϕ π µ e r I I B M v v 2 ( ) 0 + ∴ = ∴由 ϕ ϕ π µ π µ e r I e B r I I M v v v 2 2 ( ) 0 ′ = = − + 可得 0 0 2 µ µ µµ µ + ′ =

电动力学习题解答参考第三章静磁场:空间B=o！0u+μorH-HoIIM=4(沿z轴)μ+μo5.某空间区域内有轴对称磁场，在柱坐标原点附近已知B.~B。-C(z22），其中Bo为常量，试求该处的B。。提示：用V.B=0,并验证所得结果满足V×H=0解：由B具有轴对称性，设B=B,e。+B.e.，其中B=B。-c(2-02:V.B=0a1a(pB)+B. =0Ozpap1a即-(pB。)-2cz=0pB。=czp2+A(常数)pap取A=0，得B。=czp.. B= czpe。 +[B。 -c(2? -20'je.(1)aBeaB.:j=0,D=0:V×B=0即(2))e。=0Ozap代入（1）式可得（2）式成立，：B。=czp，c为常数。6.两个半径为a的同轴线圈形线圈，位于z=土L面上，每个线圈上载有同方向的电流1。（1）求轴线上的磁感应强度（2）求在中心区域产生最接近于均匀的磁场时的L和a的关系。a2提示：用条件B. =0Oz2解：1）由毕一萨定律，L处线圈在轴线上z处产生得磁感应强度为-5-

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 5 - ∴空间 ϕ µ µ π µµ e r I B v v 0 0 + = I I M 0 0 µ µ µ µ + − = 沿 z 轴 5. 某空间区域内有轴对称磁场 在柱坐标原点附近已知 ) 2 1 ( 2 2 Bz ≈ B0 − C z − ρ 其中 B0为常量 试求该处的 Bρ 提示 用∇ ⋅ B = 0, r 并验证所得结果满足 H 0 r ∇ × 解 由 B v 具有轴对称性 设 z z B B e B e v v v = ρ ρ + 其中 ) 2 1 ( 2 2 Bz = B0 − c z − ρ ∇ ⋅ B = 0 v Q ( ) 0 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∴ Bz z ρBρ ρ ρ 即 ( ) 2 0 1 − = ∂ ∂ B cz ρ ρ ρ ρ ∴ B = cz + A 2 ρ ρ ρ (常数) 取 A = 0 得 Bρ = czρ z B cz e B c z e v v v )] 2 1 [ ( 2 2 ∴ = ρ ρ + 0 − − ρ 1 j = 0, D = 0 v v Q ∴∇ × B = 0 v 即 ( ) = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ θ ρ ρ e B z B z v 2 代入 1 式可得 2 式成立 ∴ Bρ = czρ c 为常数 6. 两个半径为 a 的同轴线圈形线圈 位于 z = ±L 面上 每个线圈上载有同方向的电流 I 1 求轴线上的磁感应强度 2 求在中心区域产生最接近于均匀的磁场时的 L 和 a 的关系 提示 用条件 0 2 2 = ∂ ∂ Bz z 解 1 由毕 萨定律 L 处线圈在轴线上 z 处产生得磁感应强度为