△x2=[a△t+be√A]2 =a2△t2+b2g2△t+2abe△t2 =b2E2△t (13.10) 且当△t→O时,有△t2→>0,从而 limD(△x2)=[b2]·D(2)=0 △t2→>0 即Ax2不呈现随机波动!
2 2 = + x a t b t [ ] 2 2 2 2 2 2 = + + a t b t ab t 2 2 2 = b t 2 且当 → → t t 0 0, 时，有 从而 2 2 2 2 2 0 lim ( ) [ ] ( ) 0 t D x b t D → = = 即Δx 2不呈现随机波动！ （13.10）
由(1310)可得 E(△x2)=E(be△)=b△E(e)(13.11) 由于E~N(O,1),则 D(e)=E[(E-0)2]=E(2)=1 由(1311)得到 E(△x2)=b△t (13.12)
2 2 2 2 2 E x E b t b tE ( ) ( ) ( ) = = 由（13.10）可得 2 2 (0,1), ( ) [( 0) ] ( ) 1 N D E E = − = = 由于 则 2 2 E x b t ( ) = （13.11） 由（13.11）得到 （13.12）
由于Ax2不呈现随机波动,所以,其期望值 就收敛为真实值,即Ax2=b2△t 当A→0时,由(139)可得 df=ddt+rdx+ 1of,2 ot oX 2 ax f dt+(adt+ bdw)+ 02f b'dt at 2 ax of, of 1 of f a+ at ax 2 ax b bdt
由于Δx 2不呈现随机波动，所以，其期望值 就收敛为真实值，即 2 2 = x b t 2 2 2 1 2 f f f df dt dx dx t x x = + + 2 2 2 1 ( ) 2 f f f dt adt bdw b dt t x x = + + + 当Δt→0时，由（13.9）可得 2 2 2 1 ( ) 2 f f f f a b dt b dw t x x x = + + + ■
133B-S微分方程 假设标的资产价格变动过程满足 ds= usdt +osd 这里S为标的资产当前的价格,令f(s,代表衍生证 券的价格,则fx,)的价格变动过程可由IO引理近 似为 of of1 af S o sat+os. dw at as 2 as
13.3 B-S微分方程 ds sdt sdw = + 假设标的资产价格变动过程满足 ▪ 这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证 券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可由ITO引理近 似为 2 2 2 2 1 ( ) 2 f f f f df s s dt s dw t s s s = + + +
f 4=(++S+ 1 af f σs2)At+σs·△w at as 2 as as 假设某投资者以δ份的标的资产多头和1个单位的 衍生证券空头来构造一个组合,且δ满足 lIf 则i S 该组合的收益为 ?-f+ Sf 2021/2/23
2021/2/23 20 2 2 2 2 1 ( ) 2 f f f f f s s t s w t s s s = + + + 假设某投资者以δ份的标的资产多头和1个单位的 衍生证券空头来构造一个组合，且δ满足 f f s f s s ¶ ? - + d = - + ¶ 则该组合的收益为 f s ¶ d = ¶