般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂 的变动特征。 >漂移率和方差率为常数不恰当 dx=adt +bdw 若把变量x,的漂移率a和方差率b当作变量x和 时间t的函数,扩展后得到的即为ITO过程 dx=a(x, t)dt+b(x, t)dw 2021/2/23
2021/2/23 11 ▪ 一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂 的变动特征。 ➢漂移率和方差率为常数不恰当 t t dx adt bdw = + ( , ) ( , ) t t dx a x t dt b x t dw = + ▪若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和 时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程
BS期权定价模型是根据IO过程的特例一几何 布朗运动来代表股价的波动 ,a(s,, t )=us,, b (s,, t)=os ds, =us, dt +os, dw 省略下标t,变换后得到几何布朗运动方程 -udt +odv (13.6) 证券的预期回报与其价格无关。 2021/2/23 12
2021/2/23 12 ▪ B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何 布朗运动来代表股价的波动 t t t t ds s dt s dw = + , ( , ) , ( , ) t t t t t t s x a s t s b s t s = = = 省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程 ds dt dw s = + （13.6） 证券的预期回报与其价格无关
ITO定理:假设某随机变量x的变动过程可由IO 过程表示为(省略下标t) dx=a(x, tdt+b(x, t)dw(13.7) 日令f(x,为随机变量x以及时间的函数,即f(x,t)可 以代表以标的资产x的衍生证券的价格,则f(x,t) 的价格变动过程可以表示为 af, +=a+ b-at+ of b.dw at ax 2 ax ax f=f(, t),a=a(x, t),b=b(x, t) 2021/2/23
2021/2/23 13 ▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t） dx a x t dt b x t dw = + ( , ) ( , ) ▪ 令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可 以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t) 的价格变动过程可以表示为 2 2 2 1 ( ) 2 f f f f df a b dt b dw t x x x = + + + f f x t a a x t b b x t = = = ( , ), ( , ), ( , ) （13.7）
证明:将(13.7)离散化 △x=a(x,)△t+b(x,t)△1 由(131)知△w=E√△t 利用泰勒展开,忽略高阶段项,f(x,可以展开为 △t+△x+ 1 of △x2)+ 0fAxAt at 2 ax axat 1 af △t+O (138)
证明：将（13.7）离散化 = + x a x t t b x t w ( , ) ( , ) 由（13.1）知 = w t 利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 2 f f f f f t x x x t t x x x t f t t = + + + + + （13.8）
在连续时间下,即Dt?0从而Dr2?0Dt2?0 lim△x△t=a△t2+bE△t2=0 △t→>0 因此,(13.8)可以改写为 4=yM0f1825Mx2 X+ 2 (13.9) 2 ax
在连续时间下，即 D ?t 0 3 2 2 0 lim 0 t x t a t b t → = + = 因此，（13.8）可以改写为 （13.9） 2 2 2 1 2 f f f f t x x t x x = + + 2 从而 D ? t 0 3 2 D ? t 0