复 小波变换克服了 Fourier变换和窗口 Fourier变 岛换的缺点,在时城和频域同时具有良好的局域化性 数质,被誉为“数学显微镜” 与 1987年,法国数学家Ma与 Meyer合作,将计 积 今算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分 变析中提出了多分辨分析的概念,统一了在此之前的 换 所有具体正交小波基的构造,并且提出相应的分解 与重构快速算法.随后Mala将多分辨分析用于图 象处理,取得了巨大成功
小波变换克服了Fourier变换和窗口Fourier变 换的缺点, 在时域和频域同时具有良好的局域化性 质, 被誉为“数学显微镜” . 1987年, 法国数学家Mallat与Meyer合作, 将计 算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分 析中,提出了多分辨分析的概念, 统一了在此之前的 所有具体正交小波基的构造, 并且提出相应的分解 与重构快速算法. 随后Mallat将多分辨分析用于图 象处理, 取得了巨大成功
小波变换是泛函分析、调和分析和数值分析 复 变等数学分支发展的综合结晶,作为一种数学理论 画和方法在科学技术领域引起了越来越多的关注和 数 5重视小波分析的应用是与小波分析的理论研究 积紧密地结合在一起的对于处理性质随时间稳定不 安/变的信号,理想工具仍然是 burier析但是在实 换际应用中的绝大多数信号是非稳定的,而特别适用 于非稳定信号的工具就是小波分析.小波分析的应 用领域十分广泛,包括信号分析和图象处理、语音 识别与合成、医学成像与诊断等方面
小波变换是泛函分析、调和分析和数值分析 等数学分支发展的综合结晶，作为一种数学理论 和方法在科学技术领域引起了越来越多的关注和 重视. 小波分析的应用是与小波分析的理论研究 紧密地结合在一起的. 对于处理性质随时间稳定不 变的信号, 理想工具仍然是Fourier分析. 但是在实 际应用中的绝大多数信号是非稳定的, 而特别适用 于非稳定信号的工具就是小波分析. 小波分析的应 用领域十分广泛，包括信号分析和图象处理、语音 识别与合成、医学成像与诊断等方面
复 §10.2窗口 Fourier变换简介 变 窗口 Fourier变换是在 Fourier变换的框架内, 数将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加 与通过在时域上加上窗口来实现短时性通常选择在 和有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数0 变作为窗函数,用平移滑动的窗函数g(与信号(0 换相乘有效地抑制了=z邻域以外的信号,在附近 开窗,通过平移来覆盖整个时间域再进行 Fourier 变换,所得的结果反映了仁τ时刻附近的频谱信息, 从而产生了时域局部化的作用
§10.2 窗口Fourier变换简介 窗口Fourier变换是在 Fourier 变换的框架内, 将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加, 通过在时域上加上窗口来实现短时性. 通常选择在 有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数g(t) 作为窗函数, 用平移滑动的窗函数g(t-t)与信号f (t) 相乘, 有效地抑制了t=t 邻域以外的信号, 在t 附近 开窗, 通过平移来覆盖整个时间域. 再进行Fourier 变换, 所得的结果反映了t=t 时刻附近的频谱信息, 从而产生了时域局部化的作用
复定义10.1设函数g∈L(R)n(R,g∈C(R, 刻则称f(O)g(-c)的F ourier变换 数与 +oO f(t)g(t-τ)edt -cO 为(0的窗口 Fourier变换,也称f(的Gb变换,记 变为G0,其中8(0称为时窗函数 换 以下总是取时窗函数g(满足 ∫。g(o)dc=1
定义10.1 设函数 1 2 2 g L (R) L (R), tg L (R), 则称 f (t)g(t t )的Fourier变换 ( ) ( ) d i t f t g t e t t 为f (t)的窗口Fourier变换, 也称f (t)的Gabor变换, 记 为 ( , ), 其中g(t)称为时窗函数. Gf t 以下总是取时窗函数g(t)满足 + 2 - g(t) dt 1.
复 根据 Fourier变换的反演公式,有 变 f(tg(t-t) G(a, t)e da, 数 与于是 积 r(((-)2=1∫o1a--)da 从而 换 f()。(g(-)dz dt g(a,r)e g(t-t)do. 2 ∫
根据Fourier变换的反演公式, 有 1 ( ) ( ) ( , ) d , 2 i t f f t g t G e t t 于是 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( )d , 2 i t f f t g t G e g t t t t 从而 + 2 - f (t) g(t t ) dt + - 1 d ( , ) ( )d . 2 i t Gf e g t t t t