第3章系统的数学模型将式（3.7）～（3.10）消去中间变量i()、E(t)和M()，可得到以输出量为o()，输入量为ut）的电枢控制直流电动机的微分方程d'o(t). +(UR+ JL) da+(JR+C,0)0(0)=C,1() -LM, +RM()L）（3.11)dt?dtdt在工程应用中，由于电枢电路电感L较小，通常忽略不计，因而式（3.11）可简化为T do( +0(1)= K,u(0)-K,M,(0)(3.12)dt式中，T=JR/JR+CQ)是电动机的时间常数，K,=C/fR+C.Q)，K,=R(JR+CQ)是电动机的传递系数。如果电枢电阻R和电动机的转动惯量J都很小，可忽略不计时，式（3.12）还可进一步简化为(3.13)Qo(t)=u(t)这时，电动机的转速の()与电枢电压u(0)成正比，于是，电动机可作为测速发电机使用。【例3.9】考虑图3.9所示的伺服系统。图中所示的马达是一种伺服马达，它是一种专门用在控制系统中的直流马达。该系统的工作原理是：用一对电位计作为系统的误差测量装置它们可以将输入和输出位置转变为与位置成比例的电信号。输入电位计电刷臂的角位置r由控制输入信号确定。角位置就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成比例。输出电位计电刷臂的角位置c由输出轴的位置确定。输入角位置r与输出角位置c之间的差，就是误差信号e，即e=r-c电位差e,-e=e,为误差电压，式中e与r成比例，而e.与c成比例，即e,=Kr和e.=K。c，其中K。为比例常数。电位计输出端上的误差电压被增益常数为K，的放大器放大。放大器的输出电压作用到直流马达的电枢电路上（放大器必须具有很高的输入阻抗，因为电位计实质上是一个高阻抗电路，它不允许有电流通过。同时，放大器还必须有很低的输出阻抗，因为它需要向马达的电枢电路提供电流）。马达的激磁绕组上加有固定电压。如果出现误差信号，马达就会产生力矩，以带动输出负载旋转，并使误差减小到零。对于固定的激磁电流，马达产生的力矩为：T=K,i式中，K2为马达力矩常数，ia为电枢电流。如果电流ia的符号相反，则力矩T的符号也相反，因此将导致马达向相反方向旋转。当电枢旋转时，在电枢中将感应出一定的电压，它的大小与磁通和角速度的乘积成正比。当磁通不变时，感应电压eb将与角速度de/dt成正比，即dee,=K,di式中，eb为反电势，K3为马达的反电势常数，而则为马达轴的角位移。试求马达转角位移6与误差电压e之间的输入输出微分方程。解：电枢控制式直流伺服马达的速度由电枢电压ea控制（电枢电压e。=K,e,为放大器的输出）。电枢电流的微分方程为47
47 将式（3.7）～（3.10）消去中间变量 it()、Et() 和 ( ) M t m ，可得到以输出量为 ()t ，输入 量为 ut() 的电枢控制直流电动机的微分方程 ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) d d ( ) 2 2 RM t t M t f R C Q t C u t L t t JR f L t ω t JL c c + + + + e = e − + （3.11） 在工程应用中，由于电枢电路电感 L 较小，通常忽略不计，因而式（3.11）可简化为 1 2 d ( ) ( ) ( ) ( ) d c t T t K u t K M t t + = − （3.12） 式中， /( ) T JR fR C Q = + e 是电动机的时间常数， 1 /( ) K C fR C Q = + e e ， 2 ( ) K R fR C Q = + e 是电动 机的传递系数。 如果电枢电阻 R 和电动机的转动惯量 J 都很小，可忽略不计时，式（3.12）还可进一步简 化为 Q t u t ( ) ( ) = （3.13） 这时，电动机的转速 ()t 与电枢电压 ut() 成正比，于是，电动机可作为测速发电机使用。 【例 3.9】 考虑图 3.9 所示的伺服系统。图中所示的马达是一种伺服马达，它是一种专门 用在控制系统中的直流马达。该系统的工作原理是：用一对电位计作为系统的误差测量装置， 它们可以将输入和输出位置转变为与位置成比例的电信号。输入电位计电刷臂的角位置 r 由控 制输入信号确定。角位置 r 就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成比 例。输出电位计电刷臂的角位置 c 由输出轴的位置确定。输入角位置 r 与输出角位置 c 之间的 差，就是误差信号 e，即 e r c = − 电位差 r c v e e e − = 为误差电压，式中 r e 与r成比例，而 c e 与c成比例，即 r o e K r = 和 c o e K c = ， 其中 Ko 为比例常数。电位计输出端上的误差电压被增益常数为 K1 的放大器放大。放大器的输 出电压作用到直流马达的电枢电路上（放大器必须具有很高的输入阻抗，因为电位计实质上是 一个高阻抗电路，它不允许有电流通过。同时，放大器还必须有很低的输出阻抗，因为它需要 向马达的电枢电路提供电流）。马达的激磁绕组上加有固定电压。如果出现误差信号，马达就 会产生力矩，以带动输出负载旋转，并使误差减小到零。对于固定的激磁电流，马达产生的力 矩为： T K i = 2 a 式中，K2 为马达力矩常数，ia 为电枢电流。 如果电流 ia 的符号相反，则力矩 T 的符号也相反，因此将导致马达向相反方向旋转。 当电枢旋转时，在电枢中将感应出一定的电压，它的大小与磁通和角速度的乘积成正比。 当磁通不变时，感应电压 eb 将与角速度 d / d t 成正比，即 3 d d b e K t = 式中，eb 为反电势，K3 为马达的反电势常数，而 则为马达轴的角位移。 试求马达转角位移 与误差电压 ev之间的输入输出微分方程。 解：电枢控制式直流伺服马达的速度由电枢电压 ea 控制（电枢电压 a v 1 e K e = 为放大器的 输出）。电枢电流的微分方程为：
机械控制工程基础di+Ri+e,=e.dt即dide(3.14)+Ria+K= K,e,L.dtdt马达力矩的平衡方程为：d'ede=T=K,i(3.15)+bLdt?dt式中，J.为马达、负载和折合到马达轴上的齿轮传动装置组合的转动惯量，b.为马达、负载和折合到马达轴上的齿轮传动装置组合的黏性摩擦系数。从式（3.14）和（3.15）中消去ia，得d'ed'ede=K,K,e,(3.16)(Lb +RJ+(Rb+K,K)dt3dt2dt参考输入输入电位计输出电位计反馈信号era输入装置10:马达负载误差测量装置放大器齿轮传动装置图3.9伺服系统原理图系统的传递函数3.2用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复频域中的数学模型传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数的变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础建立起来的。因此，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。3.2.1传递函数的基本概念对线性定常系统，若输入为x（)，输出为x。(t)，系统微分方程的一般形式可表示为d"x.(t)d"-'x,(t)++a.x.(t)=a,dt"drt-1(3.17)d"-'x,(t)d"x() +b.b...+bx(t)dtmdrm148
48 d d a a a a b a i L R i e e t + + = 即 3 1 d d d d a a a a v i L R i K K e t t + + = （3.14） 马达力矩的平衡方程为： 2 0 0 2 2 d d d d a J b T K i t t + = = （3.15） 式中， 0 J 为马达、负载和折合到马达轴上的齿轮传动装置组合的转动惯量， 0 b 为马达、负载 和折合到马达轴上的齿轮传动装置组合的黏性摩擦系数。 从式（3.14）和（3.15）中消去 ia，得 ( ) ( ) 3 2 0 0 0 0 2 3 1 2 3 2 d d d d d d L J L b R J R b K K K K e a a a a v t t t + + + + = （3.16） 参考输入 输入电位计 er 输出电位计 ec r c 输入装置 误差测量装置 放大器 马达 齿轮传动 装置 负载 T K K1ev 1 Ra La 反馈信号 ev c ia 图 3.9 伺服系统原理图 3.2 系统的传递函数 用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复频域中的数学模型—— 传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数的变 化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础 建立起来的。因此，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。 对线性定常系统，若输入为 () i x t ，输出为 x (t) o ，系统微分方程的一般形式可表示为 1 1 0 1 1 1 0 1 d ( ) d ( ) ( ) d d d ( ) d ( ) ( ) d d n n o o n n o n n m m i i m m i m m x t x t a a a x t t t x t x t b b b x t t t − − − − − − + + + = + + + （3.17）
第3章系统的数学模型在零初始条件下，即当外界输入作用前，输入、输出的初始条件x(0_），x(O_），，xm-1)(0_)和x。(0_），x(0.），..，xa-(0.)均为零时，对式（3.17）作拉氏变换得(3.18)(as" +a-s-+..-+a)X.(s)=(b.s"+b.--sm-+..+b)X(s)在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零时，线性定常系统（环节或元件）的输出x。(t)的拉氏变换X。(s)与输入x()的拉氏变换X(s)之比，称为该系统（环节或元件）的传递函数，用G(s）表示。由此可得：L[xo()] _X,(s) _ b.s" + bm-s"-" +.+b(n≥m)(3.19)G(s) =L[x,()] X,(s) a,s" +an-s"- ++a则(3.20)X。(s)=G(s)X,(s)在无特别声明时，一般将外界输入作用前的输出的初始条件x。(0.)，x(0_)，...，x"-(0.)称为系统的初始状态。将式（3.20）所表示的系统用方框图表示为图3.10所示。X(s)Xo(s)G(s)图3.10系统方框图从上述可知，传递函数具有如下一些主要特点。①传递函数分母的阶次与各项系数只取决于系统本身的固有特性，而与外界输入无关：分子的阶次与各项系数取决于系统与外界之间的关系。所以，传递函数的分母与分子分别反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性和系统与外界之间的联系。②当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的拉民逆变换完全取决于系统的传递函数。式（3.20）通过拉氏逆变换，便可求得系统在时域中的输出(3.21)x,(t)= L'[X,(s)]= L-'[G(s)X(s)]由于已设初始状态为零，而这一输出与系统在输入作用前的初始状态无关。但是，一日系统的初始状态不为零，则系统的传递函数不能完全反映系统的动态历程。③传递函数分母中s的阶次n不小于分子中s的阶次m，即n>m。这是由于实际系统或元件总是具有惯性的。例如对单自由度（二阶）的机械振动系统而言，输入力后先要克服系统的惯性，产生加速度，再产生速度，然后，才可能有位移输出，而与输入有关的各项的阶次是不可能高于二阶的。④传递函数可以有量纲，也可以是无量纲的，这取决于系统输出的量纲与输入的量纲。如在机械系统中，若输出为位移（cm），输入为力（N）则传递函数G（s）的量纲为cm/N：若输出为位移（cm），输入也为位移（cm），则传递函数G(s)为无量纲比值。在传递函数的计算中，应注意量纲的正确性。G(s)的量纲应该与xo()/xi(t)的量纲相同。③物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同类型的传递函数。既然可以用相同类型的微分方程来描述不同的物理系统的动态过程，同样，也可以用相同类型的传递函数来描49
49 在零初始条件下，即当外界输入作用前，输入、输出的初始条件 (0 ) i x − ， (0 ) i x − ，.， ( 1) (0 ) m i x − − 和 (0 ) o x − ， (0 ) o x − ，.， ( 1) (0 ) n o x − − 均为零时，对式（3.17）作拉氏变换得 1 1 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m n n o m m i a s a s a X s b s b s b X s − − + + + = + + + − − （3.18） 在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零时，线性定常系统（环节或元件）的输出 x (t) o 的拉氏变换 ( ) X s o 与输入 () i x t 的拉氏变换 ( ) X s i 之比，称为该系统（环节或元件）的传递 函数，用 G s( ) 表示。由此可得： 1 0 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m o m m n n i i n n L x t X s b s b s b G s L x t X s a s a s a − − − − + + + = = = + + + (n≥m) （3.19） 则 ( ) ( ) ( ) X s G s X s o i = （3.20） 在无特别声明时，一般将外界输入作用前的输出的初始条件 (0 ) o x − ， (0 ) o x − ，.， ( 1) (0 ) n o x − − 称为系统的初始状态。 将式（3.20）所表示的系统用方框图表示为图 3.10 所示。 图 3.10 系统方框图 从上述可知，传递函数具有如下一些主要特点。 ① 传递函数分母的阶次与各项系数只取决于系统本身的固有特性，而与外界输入无关； 分子的阶次与各项系数取决于系统与外界之间的关系。所以，传递函数的分母与分子分别反映 了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性和系统与外界之间的联系。 ② 当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的拉氏逆变换完全取决于系统 的传递函数。式（3.20）通过拉氏逆变换，便可求得系统在时域中的输出 1 1 ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] o o i x t L X s L G s X s − − = = （3.21） 由于已设初始状态为零，而这一输出与系统在输入作用前的初始状态无关。但是，一旦系 统的初始状态不为零，则系统的传递函数不能完全反映系统的动态历程。 ③ 传递函数分母中 s 的阶次 n 不小于分子中 s 的阶次 m，即 n≥m。这是由于实际系统或 元件总是具有惯性的。例如对单自由度（二阶）的机械振动系统而言，输入力后先要克服系统 的惯性，产生加速度，再产生速度，然后，才可能有位移输出，而与输入有关的各项的阶次是 不可能高于二阶的。 ④ 传递函数可以有量纲，也可以是无量纲的，这取决于系统输出的量纲与输入的量纲。 如在机械系统中，若输出为位移（cm），输入为力（N）则传递函数 G(s)的量纲为 cm/N；若输 出为位移（cm），输入也为位移（cm），则传递函数 G(s)为无量纲比值。在传递函数的计算中， 应注意量纲的正确性。G(s)的量纲应该与 xo(t)/ xi(t)的量纲相同。 ⑤ 物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同类型的传递函数。既然可以用相同 类型的微分方程来描述不同的物理系统的动态过程，同样，也可以用相同类型的传递函数来描 Xi(s) Xo(s) G(s)
机械控制工程基础述不同物理系统的动态过程。因此，传递函数的分析方法可以用于不同的物理系统，即传递函数相同的不同物理系统其动态特性相同。③传递函数非常适用于对单输入、单输出的线性定常系统的动态特性进行描述。但对于多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系（描述系统的外部特性），而没有表示系统中间变量之间的关系（描述系统的内部特性）。针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描述法对系统的动态特性进行描述。3.2.2传递函数的零点、极点和放大系数系统的传递函数G(s)是以复变量s作为自变量的函数。通过因式分解后，传递函数G(s)可以写成如下的一般形式：K(s-z))(s-22).- (s-2m)G(s)=（K为常数）(3.22)(s-p,)(s-p,)..-(s-p.)由复变函数可知，在式（3.22）中，当s-z(j=1,2..,m)时，均能使传递函数G(s)=0，称z1,=2,.,=m为传递函数G(s)的零点。当s-pi(i=1,2...,n)时，均能使传递函数G(s)的分母等于零，即使传递函数G(s)取极值limG(s)=o0(i=1,2,..,n)(3.23)s*P,因此，称p1,p2..Pn为传递函数G(s)的极点，即系统传递函数的极点也就是系统微分方程的特征根。如果用拉氏变换求解系统的微分方程可得系统的瞬态响应，其瞬态响应由以下形式的分量所构成ep,e"sinot,ecosot其中，p和8+jの是系统传递函数的极点，也就是系统微分方程的特征根。假定所有的极点是负数或具有负实部的复数，即p<0，<0，当t→8o时，上述分量将趋近于零，瞬态响应是收敛的。在这种情况下，称系统是稳定的，也就是说系统是否稳定由系统的极点性质所决定。系统的稳定性问题是控制工程研究的重要内容之一，将在下面的有关章节中详细讨论这一问题。同样，根据拉氏变换求解系统的微分方程可知，当系统的输入信号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态性能，即零点对系统的稳定性没有影响，但它对瞬态响应曲线的形状有影响。当s-0时K(-z))(-22)..-(-=m) _ boG(0) =(-p)(-p2)..-(-p,)ao若系统输入为单位阶跃信号，即X(s)=1/s，根据拉氏变换的终值定理，系统的稳态输出值为limx,(t) = x,(00) = lim X,(s)= lim sG(s)X,(s) = lim G(s)= G(0)所以G(O)决定着系统的稳态输出值，由式（3.22）可知，G(O)就是系统的放大系数，它由50
50 述不同物理系统的动态过程。因此，传递函数的分析方法可以用于不同的物理系统，即传递函 数相同的不同物理系统其动态特性相同。 ⑥ 传递函数非常适用于对单输入、单输出的线性定常系统的动态特性进行描述。但对于 多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函数只 表示系统输入量和输出量的数学关系（描述系统的外部特性），而没有表示系统中间变量之间 的关系（描述系统的内部特性）。针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描 述法对系统的动态特性进行描述。 系统的传递函数 G(s)是以复变量 s 作为自变量的函数。通过因式分解后，传递函数 G(s) 可以写成如下的一般形式： 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) m n K s z s z s z G s s p s p s p − − − = − − − （K 为常数） （3.22） 由复变函数可知，在式（3.22）中，当 s=zj(j=1,2,.,m)时，均能使传递函数 G(s)＝0，称 z1,z2,.,zm 为传递函数 G(s)的零点。当 s=pi(i=1,2,.,n)时，均能使传递函数 G(s)的分母等于零， 即使传递函数 G(s)取极值 lim ( ) i s p G s = → ∞ (i=1,2,.,n) （3.23） 因此，称 p1,p2,.,pn 为传递函数 G(s)的极点，即系统传递函数的极点也就是系统微分方程的特 征根。 如果用拉氏变换求解系统的微分方程可得系统的瞬态响应，其瞬态响应由以下形式的分量 所构成 e pt ， e sin t t ，e cos t t 其中，p 和 + j 是系统传递函数的极点，也就是系统微分方程的特征根。 假定所有的极点是负数或具有负实部的复数，即 p 0， 0 ，当 t→∞时，上述分量将 趋近于零，瞬态响应是收敛的。在这种情况下，称系统是稳定的，也就是说系统是否稳定由系 统的极点性质所决定。系统的稳定性问题是控制工程研究的重要内容之一，将在下面的有关章 节中详细讨论这一问题。 同样，根据拉氏变换求解系统的微分方程可知，当系统的输入信号一定时，系统的零、极 点决定着系统的动态性能，即零点对系统的稳定性没有影响，但它对瞬态响应曲线的形状有影 响。 当 s=0 时 1 2 0 1 2 0 ( )( ) ( ) (0) ( )( ) ( ) m n K z z z b G p p p a − − − = = − − − 若系统输入为单位阶跃信号，即 ( ) 1/ X s s i = ，根据拉氏变换的终值定理，系统的稳态输出 值为 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) (0) o o o i t s s s x t x X s sG s X s G s G = = = = = →∞ →0 →0 →0 ∞ 所以 G(0)决定着系统的稳态输出值，由式（3.22）可知，G(0)就是系统的放大系数，它由
第3章系统的数学模型系统微分方程的常数项决定。由上述可知，系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能。所以，对系统的研究可变成对系统传递函数零点、极点和放大系数的研究。利用控制系统传递函数零点、极点的分布特征可以简明、直观地表达控制系统的性能的许多规律。控制系统的时域、频域特性集中地以其传递函数零、极点特征表现出来，从系统的观点来看，对于输入一输出的控制模型的描述，往往并不关心组成系统内部的结构和参数，而只需从系统的输入、输出特征，即控制系统传递函数的零点、极点特征来考察、分析和处理控制系统中的各种问题。3.2.3典型环节的传递函数从式（3.19）可知，对于线性定常系统的传递函数G(s)，可以用如下的形式描述：G(s)- b.s*+b-*+b.(n≥m)a,s" +a,,sI +..+ao如果将上式进行因式分解，总可以分解为如下一些因式的有限组合：o.K1(3.24)K,K,s+1六”了+250,+0*e*式（3.24）所表示的物理意义在于，对于一个复杂的控制系统总可以分解为有限简单因式的组合，这些简单因式可以构成独立的控制单元，并具有各自独特的动态性能，称这些简单因式作为传递函数所构成的控制单元为典型环节。式（3.24）所表示的典型环节分别为：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节。在实际工程应用中，常常将这些典型环节通过串联、并联和反馈等方式构成复杂的控制系统。因此，将一个复杂的控制系统分解为有限的典型环节所组成，并求出这些典型环节的传递函数来，这将为分析、研究和设计复杂系统带来极大方便。以下介绍这些典型环节的传递函数及其推导。1.比例环节在时域中，如果输出量与输入量成正比，输出既不失真也不延迟，而按比例反映输入量的环节称为比例环节。比例环节也称放大环节，无惯性环节，零阶环节。其输入输出方程为x,(t)= Kx(0)式中，x。(t)为输出，x(t)为输入，K为比例环节的放大系数或增益。其传递函数为：X.(S)=KG(s)=(3.25)X,(s)比例环节的方框图如图3.11所示。X(s)Xo(s)4图3.11比例环节方框图51
51 系统微分方程的常数项决定。由上述可知，系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系统 的瞬态性能和稳态性能。所以，对系统的研究可变成对系统传递函数零点、极点和放大系数的 研究。 利用控制系统传递函数零点、极点的分布特征可以简明、直观地表达控制系统的性能的许 多规律。控制系统的时域、频域特性集中地以其传递函数零、极点特征表现出来，从系统的观 点来看，对于输入—输出的控制模型的描述，往往并不关心组成系统内部的结构和参数，而只 需从系统的输入、输出特征，即控制系统传递函数的零点、极点特征来考察、分析和处理控制 系统中的各种问题。 从式（3.19）可知，对于线性定常系统的传递函数 G s( ) ，可以用如下的形式描述： 1 1 0 1 1 0 ( ) m m m m n n n n b s b s b G s a s a s a − − − − + + + = + + + (n≥m) 如果将上式进行因式分解，总可以分解为如下一些因式的有限组合： K ， K ， 1 K Ts + ， 1 Ts ， 2 2 2 2 n n n s + + ，e − s （3.24） 式（3.24）所表示的物理意义在于，对于一个复杂的控制系统总可以分解为有限简单因式 的组合，这些简单因式可以构成独立的控制单元，并具有各自独特的动态性能，称这些简单因 式作为传递函数所构成的控制单元为典型环节。式（3.24）所表示的典型环节分别为：比例环 节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节。 在实际工程应用中，常常将这些典型环节通过串联、并联和反馈等方式构成复杂的控制系 统。因此，将一个复杂的控制系统分解为有限的典型环节所组成，并求出这些典型环节的传递 函数来，这将为分析、研究和设计复杂系统带来极大方便。 以下介绍这些典型环节的传递函数及其推导。 1．比例环节 在时域中，如果输出量与输入量成正比，输出既不失真也不延迟，而按比例反映输入量的 环节称为比例环节。比例环节也称放大环节，无惯性环节，零阶环节。其输入输出方程为 ( ) ( ) o i x t Kx t = 式中， () o x t 为输出， () i x t 为输入， K 为比例环节的放大系数或增益。其传递函数为： ( ) ( ) ( ) o i X s G s K X s = = （3.25） 比例环节的方框图如图 3.11 所示。 图 3.11 比例环节方框图 Xi(s) Xo(s) K