机械控制工程基础车体的垂直运动x。()为系统的输出量，只考虑车体在垂直方向的运动。垂直运动x(）从无输入量x（）作用时的平衡位置开始测量。1质心1车片(b)图3.4汽车悬浮系统及其动力学模型对于如图3.4（b）所示的悬浮系统，根据牛顿第二定律厂F=ma，可得d'x,(0)[dx,(t)_dx,(t)-k[x(t)-x(0)]=mdt?dtdt即++()=d+(0)mdt?dtdt3.1.3电气系统的微分方程电气系统是机电控制系统的重要组成部分。对于实际的复杂电路分析，通常按集中参数法建立电路系统的数学模型。在这种系统模型中，有三种线性双向的无源元件：电阻R、电感L、电容C。通过它们的组合，可以构成各种复杂的电网络系统。这三种元件的性能和作用，在电工原理中已经介绍得很清楚了。这里只强调它们的能量特性。电感是一种储存磁能的元件，电容是储存电能的元件，电阻不储存能量，是一种耗能元件，将电能转换成热能耗散掉。电气系统所遵循的基本定律是基尔霍夫电流定律和电压定律。基尔霍夫电流定律（也称节点电流定律）表明，流入节点的电流之和等于流出同一节点的电流之和：而基尔霍夫电压定律（也称环路电压定律）表明，在任意瞬时，在电路中沿任意环路的电压的代数和等于零。通过应用一种或同时应用两种基尔霍夫定律，就可以得到电路系统的数学模型。下面将举例介绍建立电气系统微分方程的步骤和方法。【例3.5】RLC无源网络如图3.5所示，图中R、L、C分别为电阻（Q）、电感（H)、电容（F)。试列出以u(t)为输入电压，u(t)为输出电压的网络微分方程。42
42 车体的垂直运动 () o x t 为系统的输出量，只考虑车体在垂直方向的运动。垂直运动 () o x t 从无输 入量 () i x t 作用时的平衡位置开始测量。 图 3.4 汽车悬浮系统及其动力学模型 对于如图 3.4（b）所示的悬浮系统，根据牛顿第二定律 F ma = ，可得 2 2 d ( ) d ( ) d ( ) [ ( ) ( )] d d d o i o o i x t x t x t c k x t x t m t t t − − − − = 即 2 2 d ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d d o o i o i x t x t x t m c kx t c kx t t t t + + = + 电气系统是机电控制系统的重要组成部分。对于实际的复杂电路分析，通常按集中参数法 建立电路系统的数学模型。在这种系统模型中，有三种线性双向的无源元件：电阻 R、电感 L、 电容 C。通过它们的组合，可以构成各种复杂的电网络系统。这三种元件的性能和作用，在电 工原理中已经介绍得很清楚了。这里只强调它们的能量特性。电感是一种储存磁能的元件，电 容是储存电能的元件，电阻不储存能量，是—种耗能元件，将电能转换成热能耗散掉。 电气系统所遵循的基本定律是基尔霍夫电流定律和电压定律。基尔霍夫电流定律（也称节 点电流定律）表明，流入节点的电流之和等于流出同一节点的电流之和；而基尔霍夫电压定律 （也称环路电压定律）表明，在任意瞬时，在电路中沿任意环路的电压的代数和等于零。通过 应用一种或同时应用两种基尔霍夫定律，就可以得到电路系统的数学模型。 下面将举例介绍建立电气系统微分方程的步骤和方法。 【例 3.5】 RLC 无源网络如图 3.5 所示，图中 R、L、C 分别为电阻（Ω）、电感（H）、电 容（F）。试列出以 () i u t 为输入电压， u (t) o 为输出电压的网络微分方程。 质心 车体 m k c x0(t) P xi(t) （a） （b）
第3章系统的数学模型u(0)lo(0)i(0)图3.5RLC无源网络解：设网络中的电流为i()。而输入变量为u(t)，输出变量为u。(t)，中间变量为i(t)。网络按线性集中参数考虑，且忽略输出端负载效应。由基尔霍夫定律写出原始方程：di(o)2 + Ri(0)+ u ()= u,(0)Ldt列写中间变量（t)与输出变量u(t)的关系式：i(t)=cdu,()dt将上式代入原始方程，消去中间变量（），得Lcdm+ c dr( + 1,()= ()dr2dt令LC=T2，RC=2T，则上式又可以写成Ta du+2gTT du.().(3.2)+u()=u(0)dr?dt式中，T为时间常数，单位为秒，为阻尼比。显然式3.2描述的以u()为输入电压，u。(t)为输出电压的网络微分方程是一个二阶线性定常微分方程。另外从式（3.2）中可以看出，RLC无源网络的静态放大倍数等于1，即u()=u(t)，说明系统在稳态时输出电压等于输入电压，与电容的充电特性完全吻合。由于RLC无源网络中存在两个储能元件电感和电容，故网络微分方程左端最高阶次为二。【例3.6】如图3.6所示为两个形式相同的RC网络串联而成的滤波网络。试写出以输出电压u.(t)和输入电压u(t)为变量的滤波网络微分方程。Rti()ui0)to(1)图3.6两级RC滤波网解：在该系统中，由于第二级电路（R2C2）将对第一级电路（RiC）产生负载效应，即后一元件的存在将影响前一元件的输出。如果只是独立地分别写出两个串联元件的微分方程，经过消去中间变量而得出的微分方程，将是一个错误的结果。因此，在列写串联元件所构成的系43
43 图 3.5 RLC 无源网络 解 设网络中的电流为 it() 。而输入变量为 () i u t ，输出变量为 u (t) o ，中间变量为 it() 。网 络按线性集中参数考虑，且忽略输出端负载效应。 由基尔霍夫定律写出原始方程： d ( ) ( ) ( ) ( ) d o i i t L Ri t u t u t t + + = 列写中间变量 it() 与输出变量 u (t) o 的关系式： o d ( ) ( ) d u t i t C t = 将上式代入原始方程，消去中间变量 it() ，得 2 o o 2 o i d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d u t u t LC RC u t u t t t + + = 令 2 LC T = ， RC T = 2 ，则上式又可以写成 2 2 o o 2 o i d ( ) d ( ) 2 ( ) ( ) d d u t u t T T u t u t t t + + = （3.2） 式中，T 为时间常数，单位为秒， 为阻尼比。显然式 3.2 描述的以 () i u t 为输入电压， u (t) o 为 输出电压的网络微分方程是一个二阶线性定常微分方程。 另外从式（3.2）中可以看出，RLC 无源网络的静态放大倍数等于 1，即 ( ) ( ) o i u t u t = ，说 明系统在稳态时输出电压等于输入电压，与电容的充电特性完全吻合。由于 RLC 无源网络中 存在两个储能元件电感和电容，故网络微分方程左端最高阶次为二。 【例 3.6】 如图 3.6 所示为两个形式相同的 RC 网络串联而成的滤波网络。试写出以输出 电压 u (t) o 和输入电压 () i u t 为变量的滤波网络微分方程。 图 3.6 两级 RC 滤波网 解 在该系统中，由于第二级电路（R2C2）将对第一级电路（R1C1）产生负载效应，即后 一元件的存在将影响前一元件的输出。如果只是独立地分别写出两个串联元件的微分方程，经 过消去中间变量而得出的微分方程，将是一个错误的结果。因此，在列写串联元件所构成的系 R L uo(t) i(t) ui(t) C i1(t) ui(t) i2(t) C1 C2 uo(t) R1 R2
机械控制工程基础统的微分方程时，应特别注意其负载效应的影响。该系统的微分方程列写步骤如下。（1）考虑负载效应时根据基尔霍夫定律，写出原始方程：;(0)R +[6(0) -1;(0)]d = u,(0)(0)R+[5(0)dt=[6(0)-2(0)]d[i(t)dt = u (t)消去中间变量i（)和i()后得到du+(RC +RC +RC.)du.(t)(3.3)+u.(t)=u(t)RC,R,Cdr?dt即滤波网络微分方程。（2）不考虑负载效应时如果孤立地分别写出RiC和R2C2这两个环节的微分方程。则对前一个环节，有Ji;(0)dt +i(t)R, =u,(0)(3.4)[i(0)dug(t)=式中，u()为此时前一个环节的输出与后一个环节的输入。对后一个环节，有[i(t)dt+i,()R,=u(0)(3.5)i(t)diu.(0)消去中间变量，得到相应的微分方程为+(RC+RC)+,()=)(0)(3.6)RC,R,Cdt?dt负载效应考虑与否，比较式（3.3）和式（3.6）其结果是不同的。对于本题如果不考虑负载效应将会得出错误的结果。需要特别指出的是，负载效应是物理环节之间的信息反馈作用，相邻环节的串联，应该考虑它们之间的负载效应。对于电网络系统而言，只有当后一个环节的输入阻抗很大，对前面环节的影响可以忽略时，方可单独分别列写每个环节的微分方程。44
44 统的微分方程时，应特别注意其负载效应的影响。 该系统的微分方程列写步骤如下。 （1）考虑负载效应时 根据基尔霍夫定律，写出原始方程： 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) d ( ) 1 1 ( ) ( )d ( ) ( ) d 1 ( )d ( ) i o i t R i t i t t u t C i t R i t t i t i t t C C i t t u t C + − = + = − = 消去中间变量 1 i t() 和 2 i t() 后得到 ( ) 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d o o o i u t u t R C R C R C R C R C u t u t t t + + + + = （3.3） 即滤波网络微分方程。 （2）不考虑负载效应时 如果孤立地分别写出 R1C1 和 R2C2 这两个环节的微分方程。则对前一个环节，有 1 1 1 1 1 1 1 ( )d ( ) ( ) 1 ( ) ( )d i o i t t i t R u t C u t i t t C + = = （3.4） 式中， () o u t 为此时前一个环节的输出与后一个环节的输入。对后一个环节，有 2 2 2 2 2 2 1 ( )d ( ) ( ) 1 ( ) ( )d o o i t t i t R u t C u t i t t C + = = （3.5） 消去中间变量，得到相应的微分方程为 ( ) 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d o o o i u t u t R C R C R C R C u t u t t t + + + = （3.6） 负载效应考虑与否，比较式（3.3）和式（3.6）其结果是不同的。对于本题如果不考虑负 载效应将会得出错误的结果。 需要特别指出的是，负载效应是物理环节之间的信息反馈作用，相邻环节的串联，应该考 虑它们之间的负载效应。对于电网络系统而言，只有当后一个环节的输入阻抗很大，对前面环 节的影响可以忽略时，方可单独分别列写每个环节的微分方程
第3章系统的数学模型3.1.4机电系统的微分方程在工程应用中的机电控制系统，常常由机械系统、电气系统、液压系统、气动系统以及热力系统等综合而成的较复杂系统，对于这类较复杂的控制系统，列写系统微分方程可采用以下步骤。①分析系统的组成结构和工作原理，将系统按照其组成结构和属性划分为各组成环节，并确定各环节的输入、输出变量。②根据各组成环节的属性和所遵循的运动规律和物理定律，列写每一个环节的原始微分方程，并将其适当地简化。③按照系统的工作原理，根据信号在传递过程中能量的转换形式，找出各组成环节的相关物理量，将各组成环节的微分方程联立，消去中间变量，最后得到只含输入变量、输出变量以及参量的系统微分方程。下面将举例说明建立机电系统微分方程的步骤和方法。【例3.7】在如图3.7所示的机电系统中，u(t)为输入电压，x(t)为输出位移。R和L分别为铁心线圈的电阻与电感，m为质量块的质量，k为弹簧的刚度，c为阻尼器的阻尼系数，功率放大器为一理想放大器，其增益为K。假定铁心线圈的反电动势为e=k,dx(t)/dt，线圈电流i(t)在质量块上产生的电磁力为k,i（t)，并设全部初始条件为零。试列写该系统的输入输出微分方程。(1)VWFC率放大器i(t)ut)图3.7机电系统解：分析系统的工作原理和组成结构，可以知道该机电系统由电气系统（功率放大器、铁心线圈的电阻R和电感L构成）和机械系统（质量块m、弹簧k和阻尼器c构成）两个环节所组成。其工作原理是将电能转变为机械能，通过电磁力将电气系统和机械系统联系起来，成为这两个环节的相关物理量。而整个系统的输入变量是电压u(t)，输出变量为位移x(t)。对于电气系统这个环节，根据基尔霍夫定律，写出原始方程：Ku()= Ri(0)+L d() +edtdx(t)e=k,dt对于机械系统这个环节，通过受力分析，根据牛顿第二定律乙F=ma，写出原始方程，可得45
45 在工程应用中的机电控制系统，常常由机械系统、电气系统、液压系统、气动系统以及热 力系统等综合而成的较复杂系统，对于这类较复杂的控制系统，列写系统微分方程可采用以下 步骤。 ① 分析系统的组成结构和工作原理，将系统按照其组成结构和属性划分为各组成环节， 并确定各环节的输入、输出变量。 ② 根据各组成环节的属性和所遵循的运动规律和物理定律，列写每一个环节的原始微分 方程，并将其适当地简化。 ③ 按照系统的工作原理，根据信号在传递过程中能量的转换形式，找出各组成环节的相 关物理量，将各组成环节的微分方程联立，消去中间变量，最后得到只含输入变量、输出变量 以及参量的系统微分方程。 下面将举例说明建立机电系统微分方程的步骤和方法。 【例 3.7】 在如图 3.7 所示的机电系统中， ut() 为输入电压， xt() 为输出位移。R 和 L 分 别为铁心线圈的电阻与电感，m 为质量块的质量，k 为弹簧的刚度，c 为阻尼器的阻尼系数， 功率放大器为一理想放大器，其增益为 K。假定铁心线圈的反电动势为 2 e k x t t = d ( ) d ，线圈电 流 it() 在质量块上产生的电磁力为 2 k i t( ) ，并设全部初始条件为零。试列写该系统的输入输出 微分方程。 图 3.7 机电系统 解 分析系统的工作原理和组成结构，可以知道该机电系统由电气系统（功率放大器、铁 心线圈的电阻 R 和电感 L 构成）和机械系统（质量块 m、弹簧 k 和阻尼器 c 构成）两个环节所 组成。其工作原理是将电能转变为机械能，通过电磁力将电气系统和机械系统联系起来，成为 这两个环节的相关物理量。而整个系统的输入变量是电压 ut() ，输出变量为位移 xt() 。 对于电气系统这个环节，根据基尔霍夫定律，写出原始方程： 2 d ( ) ( ) ( ) d d ( ) d i t Ku t Ri t L e t x t e k t = + + = 对于机械系统这个环节，通过受力分析，根据牛顿第二定律 F ma = ，写出原始方程， 可得 功 率 放 大 器 x(t) k c m L i(t) R u(t) + −
机械控制工程基础d'x(t)dx(t)kx(t)=mk,i(t)-dr?dt消去中间变量i()，并整理得mLd'x(0d'x(t)+(k +cR+ kL)d0+ R= k,Ku(l)H(mR+cL)dtdtdt即为该系统的输入输出微分方程。【例3.8】试列写如图3.8所示的电枢控制直流电动机的输入输出微分方程。电枢的输入电压u(t)为输入量，电动机转速の()为输出量，图中R、L分别为电枢电路的电阻和电感，M.(t)为折合到电动机轴上的总负载转矩，设激磁磁通O为常值。ifR1(0)(0)图3.8电枢控制直流电动机原理图解：电枢控制直流电动机的工作原理是将输入的电能转换为机械能，即将电枢的输入电压u()在电枢回路中产生电枢电流i(t)，再由电流it)与激磁磁通O相互作用产生电磁转矩M（)，从而拖动负载运动。因此，该系统由电气系统（包括电枢回路、电磁回路）和机械系统（负载部分）所组成，其中间物理量是电磁转矩M_（0)，即通过电磁转矩M_()将电枢回路、电磁回路和负载联系起来，构成了一个将电能转换为机械能的电枢控制直流电动机系统。对于电枢回路，设电枢旋转时产生的反电动势为E()，其大小与激磁磁通Q及转速成正比，方向与电枢电压相反，即(3.7)E(t)=Q0(t)根据基尔霍夫定律，写出原始方程：u()=L O + Ri(0) + E(0)(3.8)dt对于电磁回路，设电枢电流产生的电磁转矩为M()，电动机的转矩系数为C。，则电磁回路的转矩方程(3.9)Mm(t)=Ci(t)对于负载而言，设f是电动机折合到电动机轴上的黏性摩擦系数，J是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量，则电动机轴上的转矩平衡方程为J do( + fo(1)= M.(0)- M(1)(3.10)dt46
46 2 2 2 d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d x t x t k i t c kx t m t t − − = 消去中间变量 it() ，并整理得 ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 2 d ( ) d ( ) d ( ) ( ) d d d x t x t x t mL mR cL k cR kL kR k Ku t t t t + + + + + + = 即为该系统的输入输出微分方程。 【例 3.8】 试列写如图 3.8 所示的电枢控制直流电动机的输入输出微分方程。电枢的输入 电压 ut() 为输入量，电动机转速 ()t 为输出量，图中 R、L 分别为电枢电路的电阻和电感， ( ) M t c 为折合到电动机轴上的总负载转矩，设激磁磁通 Q 为常值。 图 3.8 电枢控制直流电动机原理图 解 电枢控制直流电动机的工作原理是将输入的电能转换为机械能，即将电枢的输入电压 ut() 在电枢回路中产生电枢电流 it() ，再由电流 it() 与激磁磁通 Q 相互作用产生电磁转矩 ( ) M t m ，从而拖动负载运动。因此，该系统由电气系统（包括电枢回路、电磁回路）和机械系 统（负载部分）所组成，其中间物理量是电磁转矩 ( ) M t m ，即通过电磁转矩 ( ) M t m 将电枢回路、 电磁回路和负载联系起来，构成了一个将电能转换为机械能的电枢控制直流电动机系统。 对于电枢回路，设电枢旋转时产生的反电动势为 Et() ，其大小与激磁磁通 Q 及转速成正 比，方向与电枢电压相反，即 E t Q t ( ) ( ) = （3.7） 根据基尔霍夫定律，写出原始方程： d ( ) ( ) ( ) ( ) d i t u t L Ri t E t t = + + （3.8） 对于电磁回路，设电枢电流产生的电磁转矩为 ( ) M t m ，电动机的转矩系数为 Ce ，则电磁 回路的转矩方程 M (t) C i(t) m = e （3.9） 对于负载而言，设 f 是电动机折合到电动机轴上的黏性摩擦系数，J 是电动机和负载折合 到电动机轴上的转动惯量，则电动机轴上的转矩平衡方程为 d ( ) ( ) ( ) ( ) d m c ω t J f t M t M t t + = − （3.10） + − if R L i(t) u(t) + − − + E SM 负 载 J, f