机械控制工程基础【例3.10】求如图3.12所示的运算放大器的传递函数。其中，u()为输入电压，u。(t)为输出电压：Rt、R2为电阻。解：输入电压u()与输出电压u.()的关系为R2u(0)u.(t)=RRRiu(t)uo(n)图3.12运算放大器经拉氏变换后，得RU(s)U.(s) =R则运算放大器的传递函数U.(Q)--R=KG(s) =U,(s)R.【例3.11】求如图3.13所示的齿轮传动副的传递函数。n,(t)、n。(t)分别为输入和输出轴的转速，Z1、22为齿轮的齿数。解：若齿轮副无传动间隙，且传动系统的刚性为无穷大。那么，一旦有输入转速n,(t)，就会产生输出转速n.()，故有n(0)=,=n.(0)z)经拉氏变换后，得N,(s)=, = N。(s)=2则齿轮传动副的传递函数N(s)_三=KG(s) =N,(s)22式中，K为齿轮副的传动比。n,(t)nat图3.13齿轮传动副这种类型的环节很多，在机械系统中略去弹性的杠杆、作为测量元件的测速发电机（输入52
52 【例 3.10】 求如图 3.12 所示的运算放大器的传递函数。其中， () i u t 为输入电压， () o u t 为 输出电压；R1、R2 为电阻。 解 输入电压 () i u t 与输出电压 () o u t 的关系为 2 1 ( ) ( ) o i R u t u t R = − R2 R1 R ui(t) uo(t) 图 3.12 运算放大器 经拉氏变换后，得 2 1 ( ) ( ) o i R U s U s R = − 则运算放大器的传递函数 2 1 ( ) ( ) ( ) o i U s R G s K U s R = = − = 【例 3.11】 求如图 3.13 所示的齿轮传动副的传递函数。 () i n t 、 () o n t 分别为输入和输出 轴的转速，z1、z2 为齿轮的齿数。 解 若齿轮副无传动间隙，且传动系统的刚性为无穷大。那么，一旦有输入转速 () i n t ， 就会产生输出转速 () o n t ，故有 1 2 ( ) ( ) i o n t z n t z = 经拉氏变换后，得 1 2 ( ) ( ) N s z N s z i o = 则齿轮传动副的传递函数 1 2 ( ) ( ) ( ) o i N s z G s K N s z = = = 式中，K 为齿轮副的传动比。 z1 no(t) z2 ni(t) 图 3.13 齿轮传动副 这种类型的环节很多，在机械系统中略去弹性的杠杆、作为测量元件的测速发电机（输入
第3章系统的数学模型为转速、输出为电压时）以及电子放大器等，在一定条件下都可以认为是比例环节。2.惯性环节在时域中，如果输入、输出量可用一阶微分方程表达为：rd,(+x,(0)=x,(0)dt形式的环节称惯性环节。惯性环节也称一阶惯性环节。设初始状态为零，将上式两边同时进行拉氏变换，得TsX.(s)+ X(s)= X(s)则1X,(s)G(s) = (3.26)Ts+1X,(s)式中，T为惯性环节的时间常数。惯性环节的方框图如图3.14所示。Xo(s)Xi(s)KTs+1图3.14惯性环节方框图在惯性环节中，总是含有一个储能元件，对于突变形式的输入x()，其输出x()不能立即复现，输出x(t)总是落后于输入x()。【例3.12】求如图3.15所示的质量一弹簧一阻尼系统的传递函数。x()为输入位移，x(0）为输出位移，k为弹簧的刚度，c为阻尼器的阻尼系数。x()x(0)WmOO图3.15忽略质量的阻尼一弹簧系统解：若质量块的质量m相对很小，可以忽略其影响。根据牛顿第二定律，有dr,@) + kx,(0)= ax,(0)dt经拉氏变换后，得csX,(s) +kX,(s)= kX,(s)故传递函数为：k1X.(s)G(s)=X,(s)cs+kTs +153
53 为转速、输出为电压时）以及电子放大器等，在一定条件下都可以认为是比例环节。 2．惯性环节 在时域中，如果输入、输出量可用一阶微分方程表达为： d ( ) ( ) ( ) d o o i x t T x t x t t + = 形式的环节称惯性环节。惯性环节也称一阶惯性环节。 设初始状态为零，将上式两边同时进行拉氏变换，得 ( ) ( ) ( ) TsX s X s X s o o i + = 则 ( ) 1 ( ) ( ) 1 o i X s G s X s Ts = = + （3.26） 式中，T 为惯性环节的时间常数。惯性环节的方框图如图 3.14 所示。 图 3.14 惯性环节方框图 在惯性环节中，总是含有一个储能元件，对于突变形式的输入 () i x t ，其输出 () o x t 不能立 即复现，输出 () o x t 总是落后于输入 () i x t 。 【例3.12】 求如图3.15所示的质量—弹簧—阻尼系统的传递函数。 () i x t 为输入位移， () o x t 为输出位移，k 为弹簧的刚度，c 为阻尼器的阻尼系数。 xi(t) xo(t) k c m 图 3.15 忽略质量的阻尼—弹簧系统 解 若质量块的质量 m 相对很小，可以忽略其影响。根据牛顿第二定律，有 d ( ) ( ) ( ) d o o i x t c kx t kx t t + = 经拉氏变换后，得 ( ) ( ) ( ) o o i csX s kX s kX s + = 故传递函数为： ( ) 1 ( ) ( ) 1 o i X s k G s X s cs k Ts = = = + + Xi(s) Xo(s) 1 K Ts +