例8作二元函数z=x2+y2的图形 解此函数的定义域为xOy面上任意点且z≥0,即 曲面上的点都在xOy面上方.其图形为旋转抛物面,如下 图所示 冈凶
例 8 作二元函数 2 2 z = x + y 的图形． 解 此函数的定义域为xOy面上任意点且 z 0， 即 曲面上的点都在xOy面上方．其图形为旋转抛物面，如下 图所示． z 2 2 z = x + y x O y
例9作二元函数z=√R2-x2-y2(R>0)的图形 解此二元函数的定义域为x2+y2≤R2,即xOy坐 标面上的以O为圆心,R为半径的圆,且0≤z≤R.其图 形为上半圆周,如下图所示 R R y R 冈
例 9 作二元函数 2 2 2 z = R − x − y (R 0)的图形． 解 此二元函数的定义域为 2 2 2 x + y R ，即 xOy 坐 标面上的以O 为圆心，R 为半径的圆，且0 z R ．其图 形为上半圆周，如下图所示． y x z R R R O
二、二元函数的极限与连续性 1.二元函数的极限 定义2设二元函数z=f(x,y),如果当点(x,y)以任 意方式趋向点(x02y)时,f(x,y)总趋向于一个确定的常数 A,那么就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的 极限,记为 lim f(x, y)= A lim f(x, y) x→)x y→>yo 同一元函数的极限一样,二元函数的极限也有类似的 四则运算法则 冈凶
1. 二元函数的极限 定义 2 设二元函数z = f (x, y)，如果当点 (x, y) 以任 意方式趋向点( , ) 0 0 x y 时，f (x, y)总趋向于一个确定的常数 A，那么就称A是二元函数 f (x, y)当 (x, y) → ( , ) 0 0 x y 时的 极限，记为 f x y A x y x y = → lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 或 f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0 . 同一元函数的极限一样，二元函数的极限也有类似的 四则运算法则． 二、二元函数的极限与连续性
2.二元函数的连续性 定义3设函数=f(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域内 有定义,如果 lim f(x, y)=f(xo, yo x-x y->Vo 则称二元函数2=f(x,y)在点P0(x0y)处连续.如果 f(x,y)在区域D内的每一点都连续,则称f(x2y)在区域D 上连续 若令x=x0+△x,y=y+△y,则式 lim f(x,y)=f(xo, yo), 可写成lim[f(x0+Ax,y+△y)-f(x02%)=0 △x->0 lim△z=0 △x->0 Ay->0 冈
2. 二元函数的连续性 定义 3 设函数z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某邻域内 有定义，如果 lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = → → 则称二元函数z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处连续．如果 f (x, y)在区域 D 内的每一点都连续,则称f (x, y) 在区域 D 上连续． 若令x = x + x y = y + y 0 0 , ，则式 lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = → → , 可写成lim ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) 0 0 0 + + − = → → f x x y y f x y y x . 即 lim 0 0 0 = → → z y x
这里A为函数f(x,y)在点(x2y)处的全增量,即 △=f(x0+△x2yo+△y)-f(x0,y0) 如果函数z=f(x,y)在点B(x02y0)处不连续,则称点 0(x0,y)为函数f(x,y)的不连续点或间断点 同一元函数一样,二元连续函数的和、差、积、商(分 母不等于零)及复合函数仍是连续函数 由此还可得“多元初等函数在其定义域内连续” 冈凶
这里z为函数 f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处的全增量，即 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 z = f x + x y + y − f x y . 如果函数z = f (x, y)在点P0 ( , ) 0 0 x y 处不连续，则称点 P0 ( , ) 0 0 x y 为函数 f (x, y)的不连续点或间断点． 同一元函数一样，二元连续函数的和、差、积、商(分 母不等于零)及复合函数仍是连续函数． 由此还可得“多元初等函数在其定义域内连续”．