第八章常微分方程 第一节常微分方程的基本概念与 分离变量法 第二节一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 第三节二阶常系数线性微分方程
第八章 常微分方程 第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法 第二节 一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 第三节 二阶常系数线性微分方程
第一节常微分方程的基本概念与 分离变量法 微分方程的基本概念 二、分离变量法
一、微分方程的基本概念 二、分离变量法 第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法
第一节常微分方程的基本概念与分离变量法 、微分方程的基本概念 微分方程:含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微 分方程.特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时,这 时的微分方程就称为常微分方程 微分方程的阶:微分方程中,所含未知函数的导数的最高 阶数定义为该微分方程的阶数 线性微分方程:当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时,微分方程就称为线性微分方程.在线性 微分方程中,若未知函数及其各阶导数的系数全是常数,则 称这样的微分方程为常系数线性微分方程
第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法 微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高 阶数定义为该微分方程的阶数． 微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微 分方程．特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这 时的微分方程就称为 常微分方程． 线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程．在线性 微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则 称这样的微分方程为常系数线性微分方程． 一、微分方程的基本概念
微分方程的解:如果将函数=y(x)代入微分方 程后能使方程成为恒等式,这个函数就称为该微分方程的 解 微分方程的解有两种形式:一种不含任意常数;一种 含有任意常数.如果解中包含任意常数,且独立的任意常 数的个数与方程的阶数相同,则称这样的解为常微分方程 的通解,不含有任意常数的解,称为微分方程的特解 初始条件:用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值 作为确定通解中任意常数的条件,称为初始条件 阶常微方程的初始条件为y(x0)=y0,其中x0 是两个已知数 二阶微分方程的初始条件为y(x0)=y (
如果将函数y = y ( x ) 代入微分方 程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的 解． 初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值 作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件． 一阶常微方程的初始条件为 0 0 y( x ) = y ,其 中 0 x ， 0 y 是两个已知数. 二阶微分方程的初始条件为 0 0 0 0 ( ) , ( ) . y x y y x y = = 微分方程的解： 微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种 含有任意常数．如果解中包含任意常数，且独立的任意常 数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程 的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解．
例1验证函数y=C1e+C2e2(CC2为任意常数) 为二阶微分方程y"-3y+2y=0的通解,并求该方程满 足初始条件y(0)=0,y(0)=1的特解 解 Ce+o ge +cEx y=Ce+4Ce2x 将yy,y代入方程y”-3y+2y=0左端,得 Ce2+4C2e2x-3(C1e2+2C2c2x)+2(C1e2+C2e2x) (C1-3C1+2C1ex+(4C2-6C2+2C2)e2x=0, 所以,函数y=Ce+C2e2是所给微分方程的解.又因 为,这个解中有两个独立的任意常数,与方程的阶数相 同,所以它是所给微分方程的通解
例 1 验证函数 x x y C C 2 1 2 = e + e ( 1 2 C C, 为任意常数) 为二阶微分方程 y − 3y + 2 y = 0的通解，并求该方程满 足初始条件y(0) = 0, y(0) =1的特解． 所以，函数y = C e1 x +C2 2x e 是所给微分方程的解．又因 为，这个解中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相 同，所以它是所给微分方程的通解． x x y C C 2 1 2 = e + e , 2 1 2 e 2 e , x x y C C = + 2 1 2 e 4 e , x x y C C = + 将y, y , y 代入方程 y − 3y + 2 y = 0左端，得 解 e 4 e 3( e 2 e ) 2( e e ) 2 1 2 2 1 2 2 1 2 x x x x x x C + C − C + C + C +C ( 3 2 )e (4 6 2 )e 0 2 = 1 − 1 + 1 + 2 − 2 + 2 = x x C C C C C C