第七章定积分的应用 第一节定积分的几何应用 第二节定积分的物理应用与经济 应用举例
第七章 定积分的应用 第一节 定积分的几何应用 第二节 定积分的物理应用与经济 应用举例
第一节定积分的几何应用 、定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长 第一节 定积分的几何应用
第一节定积分的几何应用 定积分应用的微元法 用定积分计算的量的特点: (1)所求量(设为F)与一个给定区间[a,b有关, 且在该区间上具有可加性.就是说,F是确定于[a,b上 的整体量,当把[a,b分成许多小区间时,整体量等于 各部分量之和,即F=∑F (2)所求量F在区间[a,b]上的分布是不均匀的, 也就是说,F的值与区间[a,b]的长不成正比.(否则的 话,F使用初等方法即可求得,而勿需用积分方法了)
第一节 定积分的几何应用 用定积分计算的量的特点： (1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 a,b 有关， 且在该区间上具有可加性. 就是说，F 是确定于 a,b 上 的整体量，当把 a,b分成许多小区间时，整体量等于 各部分量之和，即 = = n i F Fi 1 . (2) 所求量 F 在区间 a,b 上的分布是不均匀的， 也就是说， F 的值与区间 a,b的长不成正比.（否则的 话， F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）. 一、 定积分应用的微元法
用定积分概念解决实际问题的四个步骤: 第一步:将所求量F分为部分量之和,即:F=∑△F 第二步:求出每个部分量的近似值, △F≈f(51)Ax1(i=1,2,…,n) 第三步:写出整体量F的近似值,F=∑△F≈∑f(5)x 第四步:取=max{△Ax}→>0时的∑f(5x极限,则得 F=lim 2/(5)Ax,=/(x)dx
用定积分概念解决实际问题的四个步骤： 第一步：将所求量 F分为部分量之和，即: = = n i F Fi 1 Δ ; 第二步：求出每个部分量的近似值， ΔFi ≈ f ( )Δx (i 1,2, ,n); i i = 第三步：写出整体量 F 的近似值， = = n i F Fi 1 Δ ≈ i n i i f ( )Δx 1 = ； 第四步：取 = max{Δ }→ 0 i x 时的 i n i i f ( )Δx 1 = 极限，则得 = → = = n i b a i i F f x f x x 1 0 lim ( )Δ ( )d
观察上述四步我们发现,第二步最关键,因为最后的被积表 达式的形式就是在这一步被确定的,这只要把近似式f()△x中的 变量记号改变一下即可(5换为x;4x换为dx) 而第三、第四两步可以合并成一步:在区间[a,b上无限累加, 即在[ab上积分.至于第一步,它只是指明所求量具有可加性, 这是F能用定积分计算的前提,于是,上述四步简化后形成实用 的微元法 定积分应用的微元法 在区间[a,b]上任取一个微小区间[x,x+dx],然后写出 在这个小区间上的部分量△F的近似值,记为dF=f(x)dx(称为F 的微元); (二)将微元F在a,b上积分(无限累加),即得 F=S/()dx
而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 a,b 上无限累加， 即在 a,b上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性， 这是 F能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用 的微元法. 定积分应用的微元法： (一) 在区间 a,b上任取一个微小区间 x, x + dx，然后写出 在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为dF = f (x)dx (称为 F 的微元); （二） 将微元dF 在a,b上积分（无限累加），即得 ( )d . = b a F f x x 观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表 达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式 i i f ( )Δx 中的 变量记号改变一下即可（ i 换为 x ； i x 换为 dx ）