第2章点估计法 2.1基本概念 问题的一般提出: 设总体X的分布函数F(x;)为已知,O是 待估计的参数,X1,…,Kn是X的一个样本, x1,…,x,是相应的一个样本值。点估计问题就是 要构造一个适当的统谁θ(X1,…,X),用它的观察 值θ(x1,…,x)来估计未知参数O。称(X1,…,X,) 为θ的估计量、O(x1,…,xn)为的估计值。 统称为估计,简记为 2-1
2 - 1 第 2 章 点 估 计 法 2.1 基本概念 问题的一般提出: 统称为估计，简记为 。 为 的估计量、 （ ）为 的估计值。 值 （ ）来估计未知参数 。称 （ ） 要构造一个适当的统计量 （ ），用它的观察 是相应的一个样本值。点估计问题就是 待估计的参数， 是 的一个样本， 设总体 的分布函数 为已知， 是 ˆ , , ˆ , , ˆ , , ˆ , , ˆ , , , , ( ; ) 1 1 1 1 1 1 n n n n n n x x x x X X X X x x X X X X F x
点估计的基本思想是: 总体X~F(x;)或∫(x;0) 抽取 去估计 样本X1…,X,构造一统计量(x1,…,X) 2.1.1点估计的定义 定义2.1.1设为总体分布的(维或多维)未知参数, 6为一统计量,与0有相同的维数与取值范围。 如果用θ去估计θ的真值,则就称为的一个点估计。 当给定样本的值时,的值就称为的估计值。 2-2
2 - 2 总体 X～F(x ; )或 f (x ; ) 2.1.1 点估计的定义 定义2.1.1 当给定 样本的值时， 的值就称为 的估计值。 如果用 去估计 的真值，则 就称为 的一个点估计。 为一统计量，与 有相同的维数与取值范围 。 设 为总体分布的（ 维或多维）未知参数， ˆ ˆ ˆ ˆ 1 样本 X1 ，，Xn 抽 取 去 估 计 ( ) ˆ 统计量 X1 ，，Xn 构造 点估计的基本思想是：
即设X1;…,Xn是总体的一个样本, 其分布函数为F(X;O)。 其中b为未知参数,Q为参数空间, 若统计量g(X1,…,X,)可作为O的一个估计 则称其为6的一个估计量 记为b=g(X1,…,Xn) 若 是样本的一个观察值 0=g(x1,…,xn)称为0的估计值 注:F(X;O)也可用分布律或密度函数代替 2-3
2 - 3 g( , , ). ˆ g( , , ) ( ; ) , , 1 1 1 n n n X X X X F X X X = 记 为 则 称其为 的一个估计量， 若统计量 可作为 的一个估计， 其 中 为未知参数， 为参数空间， 其分布函数为 。 即 设 是总体的一个样本， ( , , ) , ˆ , , 1 1 称 为 的估计值 若 是样本的一个观察值。 n n g x x x x = 注： F(X ; )也可用分布律或密度函数代替
2.1.2无偏估计量 对同一参数可以构造多个不同的点估计量去估计, 如何评价估计量的优劣,需要建立评价估计量优劣的标 准。估计量是随机变量,对于不同的样本值就会得到不 同的估计值,希望估计值在未知参数真值左右徘徊,即 使它的数学期望等于未知参数的真值,这就导致了无偏 性这个标准。 定义2.1.2设O=6(X1,…,X,)为的估计量 若E(0)=日,θ∈⊙,则称θ是θ的无偏估计量 (E(0)-称为估计的系统误差 即估计量的数学期望等于被估计的参数。 2-4
2 - 4 2.1.2 无偏估计量 对同一参数可以构造多个不同的点估计量去估计， 如何评价估计量的优劣，需要建立评价估计量优劣的标 准。估计量是随机变量，对于不同的样本值就会得到不 同的估计值，希望估计值在未知参数真值左右徘徊，即 使它的数学期望等于未知参数的真值,这就导致了无偏 性这个标准。 即 估计量的数学期望等于被估计的参数。 定义2.1.2 ) ) ˆ ( ( . ˆ ) , , ˆ ( ( , , ) , ˆ ˆ 1 称为估计的系统误差 若 则 称 是 的无偏估计量 设 为 的估计量 − = = E E X Xn
例1.设总体X的k阶矩μ=E(X)(k21存在,又设 X1,X2…,Xn是总体X的一个样本, 试证明不论总体服从什么分布,k阶样本矩A=-∑X 是k阶总体矩的无偏估计。 证明:X1,X2…,Xn与X同分布,故有 E(X})=E(X)=μk,i=1,2 即有E(A1)=∑E(x)=μ4。 n i=l 特别,不论总体服从什么分布,总是E(X 无偏估计。 2-5
2 - 5 无偏估计。 特别，不论总体X服从什么分布，X总 是E(X)的 例1.设总体 X的k阶矩mk = E(X k ) (k 1)存在，又设 X1 , X2 ,..., Xn是总体 X 的一个样本， n 1 是k阶总体矩的无偏估计。 论总体服从什么分布， 阶样本矩 = = i 1 k k Xi n 试证明不 k A 证明： X1 , X 2 ,..., Xn与X同分布，故有 E(X ) E(X ) , i 1,2,..., n. k k k i = = m = 即有 E(X ) 。 n 1 E(A ) k n i 1 k k i = = m =