例4求二元函数z=a2-x2-y2的定义域 解由根式函数的定义容易知道,该函数的定义域 为满足x2+y2≤a2的x,y,即定义域为 D={x,y)|x2+y2≤a 这里D在xOy面上表示一个以原点为圆心,a为半 径的圆域.它为有界闭区域(如下图所示) C O 冈
例 4 求二元函数 2 2 2 z = a − x − y 的定义域． 解 由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域 为满足 2 2 2 x + y a 的x, y,即定义域为 2 2 2 D = (x, y) | x + y a . 这里D在xOy面上表示一个以原点为圆心，a 为半 径的圆域．它为有界闭区域（如下图所示）. O 2 2 2 x + y = a y x a a
例5求二元函数z=1n(x+y)的定义域 解自变量x,y所取的值必须满足不等式x+y>0 即定义域为 D={(x,y)|x+y>0} 点集D在xOy面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x+y=0),如下图所示,此时D为无界开区域 冈凶
例 5 求二元函数z = ln(x + y)的定义域． 解 自变量x, y 所取的值必须满足不等式x + y 0 , 即定义域为 D = (x, y) | x + y 0. 点 集D 在xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x + y = 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域． O y x
例6求二元函数=1(9-x2-y2)+x2+y2-1的定 义域 解这个函数是由m9-x2-y2)和、x2+y2-1两部 分构成,所以要使函数z有意义,x,y必须同时满足 x-+ ≥0 即1≤x2+y2<9,函数定义域为 D={x,y)1x2+y2<9}点集D 在xOy平面上表示以原点为圆 13x 心,半径为3的圆与以原点为 圆心的单位圆所围成的圆环 域包含边界曲线内圆x+y=1, 但不包含边界曲线外圆x+y2=9) (如右图所示) 冈凶
例 6 求二元函数 ln(9 ) 1 2 2 2 2 z = − x − y + x + y − 的定 义域． 解 这个函数是由ln(9 ) 2 2 − x − y 和 1 2 2 x + y − 两 部 分构成，所以要使函数 z 有意义，x, y 必须同时满足 + − − − 1 0, 9 0, 2 2 2 2 x y x y 即1 9 2 2 x + y ,函数定义域为 ( , ) |1 9. 2 2 D = x y x + y 点集 D 在xOy平面上表示以原点为圆 心，半径为 3 的圆与以原点为 圆心的单位圆所围成的圆环 域(包含边界曲线内圆 1 2 2 x + y = ， 但不包含边界曲线外圆 9 2 2 x + y = ) (如右图所示)． O 1 3 x y
2二元函数的几何表示 把自变量x,y及因变量z当作空间点的直角坐标,先在 xOy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D(如下图),再 过D域中的任一点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段 MP,使P点的竖坐标为与(x,y)对应的函数值z.当M点在 D中变动时,对应的P点的轨迹就是函数z=f(x,y)的几何 图形,它通常是一张曲面,而其定义域D就是此曲面在 xOy平面上的投影 y MD 冈凶
2.二元函数的几何表示 把自变量x, y 及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在 xOy平面内作出函数z = f (x, y)的定义域 D (如下图)，再 过 D 域中的任一点M (x, y)作垂直于xOy平面的有向线段 MP，使P点的竖坐标为与(x, y)对应的函数值 z．当 M 点在 D中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数z = f (x, y) 的几何 图形，它通常是一张曲面，而其定义域 D 就是此曲面在 xOy平面上的投影． y x z O X Y M D P
例7作二元函数z=1-x-y的图形 解二元函数z=1-x-y的图形是空间一平面,其图 形如下图所示 2=1-x-y 冈凶
例 7 作二元函数z =1− x − y的图形． 解 二元函数z =1− x − y的图形是空间一平面，其图 形如下图所示． x y z O z=1-x-y