思考题 1.将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比 较,说明二者之间的区别 2.若二元函数z=f(x,y)在区域D内分别对,y 都连续,试问z=f(x,y)在区域D上是否必定连续? 冈凶
思考题 1. 将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比 较，说明二者之间的区别． 2. 若二元函数z = f (x, y)在区域 D 内分别对x, y 都连续，试问z = f (x, y)在区域 D 上是否必定连续?
第二节偏导数 偏导数 高阶偏导数 冈凶
第二节 偏导数 一、 偏导数 二、 高阶偏导数
第二节偏导数 偏导数 引例一定量的理想气体的压强P,体积V,热力 温度T三者之间的关系为 RT (R为常量) 当温度不变时(等温过程),压强P关于体积V的 变化率就是 dp RT d T=常数 这种形式的变化率称为二元函数的偏导数 冈凶
引例 一定量的理想气体的压强 P，体积 V，热力学 温度 T 三者之间的关系为 V R T P = (R 为常量). 当温度不变时（等温过程），压强 P 关于体积 V 的变 变化率就是 2 d d V R T V P T = − =常 数 , 这种形式的变化率称为二元函数的偏导数． 第二节 偏导数 一、 偏导数
1.偏导数的定义 定义设函数z=f(x,y)在点(x02,y)的某一邻域内有 定义,当y固定在y而x在x0处有改变量△x时相应地函 有改变量f(x0+Ax,y)-f(x0y)如果极限 lin f(xo +Ar, yo)-f(o,1o) △x→>0 △x 存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y)处对x的偏 导数,记为 或f( y=yo Cr/-=xo y=yo 冈凶
1.偏导数的定义 定义 设函数 z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某一邻域内有 定义，当 y 固定在 0 y 而 x 在 0 x 处有改变量 x 时相应地函数 有改变量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y 如果极限 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称此极限为函数z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对 x 的偏 导数，记为 , , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 z f x y x f x z x y y x x x y y x x y y x x 或 = = = = = =
类似地,当x固定在x0,而y在y处有改变量△y 如果极限1m(x+4)-(x,M存在,则称此极限为 △ 数z=f(x,y)在点(x,y)处对y的偏导数,记为 of X=x x=xo? x=xo 或f,(x02y0) 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x 的偏导数都存在,且这个偏导数仍是x,y的函数,称 y,或(x)为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导 X OX 数 冈凶
类似地，当 x固定在 0 x ，而 y 在 0 y 处有改变量 y ， 如果极限 y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称此极限为函 数z = f (x, y)在点（x0，y0）处对 y 的偏导数，记为 , , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 z f x y y f y z y y y y x x y y x x y y x x 或 = = = = = = . 如果函数z = f (x, y)在区域 D 内每一点 (x, y)处对 x 的偏导数都存在，且这个偏导数仍是 x y, 的函数，称 , ,z f (x, y) x f x z x或 x 为函数z = f (x, y)对自变量 x 的偏导 数