例7考虑例3的欧氏空间C[a,切,由不等式(6) 推出,对于定义在[a,6上的任意连续函数 (x)g(x),有不等式 Lf(x)g(x)dx (x)dxg(x)dx (8) (8)式称为施瓦兹( Schwarz)不等式 (7)和(8)在欧氏空间的不等式(6)里被 统一起来.因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式 上页 返回 下页 结束
11 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数 f (x), g(x), 有不等式 ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx (8) (8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. （7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式
例8设,为欧氏空间中任意两个 非零向量.证明 (1)5=a7(a>0)当且仅当5,m的夹角为0 (2)5=an7(a<0)当且仅当9,7的夹角为m; 上页 返回 下页 结束
12 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例8 设 , 为欧氏空间V 中任意两个 (1) = a(a 0) 当且仅当 的夹角为0; 非零向量.证明: , (2) = a(a 0) 当且仅当 , 的夹角为π;
73-向量的正 定义4欧氏空间的两个向量ξ与m说是正交的 如果<5,>=0 定理7.1.2在一个欧氏空间里,如果向量ξ 与7h,12,…1中每一个正交,那么ξ与 h,72,…,的任意一个线性组合也正交 上页 返回 下页 结束
13 首页 上页 返回 下页 结束 铃 7.1.3 向量的正交 定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的, 如果 = , 0 定理7.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ r , , , 1 2 中每一个正交，那么ξ与 1 , 2 , ,r 的任意一个线性组合也正交. 与
思考题1:设,B是n维欧氏空间中 两个不同的向量,且a|B=1, 证明:〈a,B)≠1. 思考题2:在欧氏空间R中,设 (ai,ai 2 In )(=1,2,…,n) 两两正交,且C:的长度 lai=i,A=(ainxn 求A的行列式|A|的值 上页 返回 下页 结束
14 首页 上页 返回 下页 结束 铃 思考题1：设 , 是 n 维欧氏空间V 中 | |=| |=1, 证明: , 1. 两个不同的向量,且 思考题2：在欧氏空间 n R 中,设 ( , , , )( 1,2, , ) i = ai1 ai2 ai n i = n 两两正交,且 i 的长度 i i j n n i A a = = | | , ( ) 求 A 的行列式 | A | 的值
7.2正交基 内容分布 2正交组的定义、性质 22标准正交基的定义、性质及存在性 2.3子空间的正交补 )/24正交矩阵的概念 25m维欧氏空间同构的概念及判别 、教学目的: 1.准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念 及基本性质 2.能熟练运用施密特正交化方法,由一个线性无关向量组求出 标准正交向量组 ●3.能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念 及基本性质,并会求某些子空间的正交补 4.掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系 5.掌握m维欧氏空间同构的概念及基本理论 重点难点:正交向量组、m维欧氏空间的标准正交基等概念;子空 5间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法结束铃
15 首页 上页 返回 下页 结束 铃 7.2 正交基 一、内容分布 • 7.2.1正交组的定义、性质 • 7.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 • 7.2.3子空间的正交补 • 7.2.4正交矩阵的概念 • 7.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别 二、教学目的： • 1．准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念 及基本性质． • 2．能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一 个标准正交向量组 • 3．能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念 及基本性质，并会求某些子空间的正交补． • 4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系． • 5．掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论． 三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念; 子空 间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法