例3令C[a,是定义在[a,b上一切连续实函数 所成的向量空间,f(x)28(x)∈CIa,b 我们规定≤f,g>=J(x)g(x) 根据定积分的基本性质可知,内积的公理 1)-4)都被满足,因而Ca,b作成一个欧氏空间 例4令H是一切平方和收敛的实数列 x<+ 所成的集合在H中用自然的方式定义加法和标 量与向量的乘法: 上页 返回 下页 结束
6 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数 f (x), g(x)C[a,b] 我们规定 所成的向量空间, f , g f (x)g(x)dx. b a = 根据定积分的基本性质可知,内积的公理 1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间. 例4 令H是一切平方和收敛的实数列 ( , ,..., ), 1 2 n = x x x + =1 2 n xn 所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标 量与向量的乘法:
设5=(x12x2)7=(12y2…)2a∈R 规定5+7=(x1+n12x2+y2),a5=(ax12x2 向量5=(x,x2)7=(12y2,…)的内积由公式 5,n>=∑xny 给出,那么H是一个欧氏空间 练习1a=(a1,a2),B=(b1,b2)为向量空间 中任意两向量证明:R2对 a, B)=ma,b,+na, b 作成欧氏空间的充分必要条件是m>0,n>0 返回 下页 结束
7 首页 上页 返回 下页 结束 铃 设 ( , ,...), ( , , ), . = x1 x2 = y1 y2 aR ( , ,...); 1 1 2 2 + = x + y x + y ( , ,...) 规定 a = ax1 ax2 = = 1 , n n n x y 向量 的内积由公式 给出，那么H是一个欧氏空间. ( , ,...), ( , , ) = x1 x2 = y1 y2 ( , ), ( , ) = a1 a2 = b1 b2 2 R 1 1 2 2 , = ma b + na b 练习1 为向量空间 中任意两向量,证明: 对 作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0
7.1.2向量的长度、两非零向量的 定义2设ξ是欧氏空间的一个向量,非负实数 <2,5的算术根√<5,5> 叫做ξ的长度,向量ξ的长度用符号 表示:图=√ 定理711在一个欧氏空间里,对于任意向量 5,.有不等式 <27 (6) 一当且仅当ξ与n线性相关时,上式才取等号 上页 返回 下页 结束
8 首页 上页 返回 下页 结束 铃 7.1.2 向量的长度、两非零向量的 夹角 , , = , 定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数 的算术根 叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号 表示： 定理7.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量 ,. 有不等式 , , , 2 (6) 当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号
定义3设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量 ξ与n的夹角0由以下公式定义: cos e 例5令R"是例1中的欧氏空间.R中向量 (x1,x2…,xn)的长度是 =√5>=√x2+x2+…+ 由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ和 任意实数a,有 上页 返回 下页 结束
9 首页 上页 返回 下页 结束 铃 定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义： = , cos 例5 令 n R 是例1 中的欧氏空间. 中向量 ( , ,..., ) 1 2 n = x x x 的长度是 2 2 2 2 1 , ... n = = x + x + + x 由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和 任意实数a,有 n R
=、<ac,a>=1-< >=c 注:一个实数a与一个向量的乘积的长度等于a的 绝对值与的长度的乘积 有不等式 (a1b1+…+anbn)2≤(a1+…+an)2(bh1+…+bn)2(7) (7)式称为柯西( Cauchy)不等式 上页 返回 下页 结束
10 首页 上页 返回 下页 结束 铃 有不等式 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) a b ++ an bn a ++ an b ++ bn (7) (7)式称为柯西(Cauchy)不等式. a = a,a = a , = a 2 注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的 绝对值与ξ的长度的乘积