7.2,正交组的定义、性质 1正交组的定义 定义1欧氏空间的一组两两正交的非零向量叫做的 个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向 这个正交组就叫做一个标准正交组 例1向量 01,0)a 0 3=(2 构成R一个标准正交组,因为 <C1.1>x<C2.C,>=<O2.C1,>=0 上页 返回 下页 结束
16 首页 上页 返回 下页 结束 铃 7.2.1正交组的定义、性质 定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的 一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向 量, 这个正交组就叫做一个标准正交组. 1．正交组的定义 例1 向量 ( ) , 2 1 ,0, 2 1 0,1,0 , 1 2 = = = − − 2 1 ,0, 2 1 3 构成 3 R 一个标准正交组，因为 1, 1 = 2 = 3 = , , , 0. 1 2 = 2 3 =3 1 =
例2考虑定义在闭区间[0,2x]上一切连续 函数所作成的欧氏空间C[O,2x] (参看8.1例3),函数组 (1)1 cosx, sinx,.., cosnx, sinx 构成C[0,2丌]的 正交组 上页 返回 下页 结束
17 首页 上页 返回 下页 结束 铃 [0,2 ] C[0,2 ] 例2 考虑定义在闭区间 函数所作成的欧氏空间 （参看8.1例3），函数组 的一个正交组。 (1) 1，cosx, sinx, … ,cosnx ,sinnx,… 构成 上一切连续 C[0,2 ]
事实上,我们有 1abx=2兀 2丌 丌,石m=n cos mycos ndx JO 0,若m≠n 2 sin mxsin nxdx ∫x,若m=n, 10,若m≠n 18 上页 返回 下页 结束
18 首页 上页 返回 下页 结束 铃 = 2 0 1dx 2 , = = 2 0 , , 0, , sin sin m n m n mx nxdx 若 若 = = 0, , , , cos cos 2 0 m n m n mx nxdx 若 若 事实上，我们有
cos mx sinnxa cos nX dx sin ndx=0 0 0 0 所以<1,1>=2丌,< cos nX, cos nX>=< sIn nx, sInx>=丌, <L. cosnx >=<lsinx>=0 cos mx. cos nx sin mx. sin nx> cos mx. sin nx 0.,若m≠n 把(1)中每一向量除以它长度,我们就得 C[0,2π]的一个标准正交组 11 √2n√z cOSx.-sIn x cos nX sIn nx 19 上页 返回 下页 结束
19 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 2 2 0 0 0 cos sin cos sin 0 1,1 2 , cos ,cos sin ,sin , 1,cos 1,sin 0, cos ,cos sin ,sin mx nxdx nxdx nxdx nx nx nx nx nx nx mx nx mx nx = = = = = = = = = 所以 0, , cos ,sin m n mx nx = = 若 把（1）中每一向量除以它长度，我们就得 C[0，2π]的一个标准正交组 sin ,... 1 cos , 1 sin ,..., 1 cos , 1 , 2 1 x x nx nx
交组的性质 定理72.1设{a12a2…,an}是欧氏空间的 个正交组,那么C1302,…,Cm线性无关 证:有国=(E得 a1x1+a2O2+…+ann,=0 a:(aa: )=aaa 因为当i≠j时k,a1>=0,所以 但(ax2a)=0,所以41=1,2,…,n,即 C12O2,…2Cn线性无关
20 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2．正交组的性质 定理7.2.1 设 { , , , } 1 2 n 一个正交组，那么 n , , , 1 2 线性无关. 是欧氏空间的 证：设有 a1 ,a2 , ,an R 使得 a1 1 + a2 2 ++ an n = 0 因为当i≠j 时 , = 0 i j ，所以 但 i ,i = 0 ，所以 a 1,2, ,n, i = 即 n , , , 1 2 线性无关. i i i n j j i j n j i i j j a a a , , 0 ,0 , 1 1 = = = = = =