对它们分别应用一元函数的拉格郎日中值定理，得Az=f, (x +0,Ax, yo +Ay)△x + f, (xo, yo +0,Ay)Ay, (9)0 <0,0, <1.由于f,与f,在点(xo,)连续，因此有(10)f. (xo +0,Ax, yo +Ay) = f. (xo,yo)+α,f, (xo, yo +0,Ay) = f,(xo, yo)+ β, (11)其中当(Ax,Ay)→(0,0)时,α→0, β→0.将(10),(11)代入(9)式，则得Az = fx (xo, yo)Ax + f, (xo, yo)Ay+ ox + BAy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 0 2 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 , , , 9 0 , 1. , , , 10 , , 11 , 0 0 0 0. 10 11 9 x y x y x x y y f x x y y x f x y y y f f x y f x x y y f x y f x y y f x y x y + + + + + + = + + = + → → → 对它们分别应用一元函数的拉格郎日中值定理，得 z= 由于 与 在点 连续，因此有 ， ， 其中当 ， 时， ， 将 ， 代 入 式，则得 = + + + z f x y x f x y y x y x y ( 0 0 0 0 , , ) ( )
由(4)式便知函数f在点(xo,y)可微,定理17.3设函数f在点(x,y)的某邻域内存在偏导数，若(x,y)属于该邻域则存在≤=x +0(x-x)和n=y +0(-), 0<d,, <1,使得f (x,y)- f (xo, yo)= f(E,y)(x -xo)+ f, (xo,n)(y - yo)(12)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 17.3 , , 1, , , , , . 12 x y f x y x y x x x y y y f x y f x y f y x x f x y y = + − = + − − = − + − 定理 设函数 在点 的某邻域内存在偏 导数，若 属于该邻域， 则存在 和 ，0 ， 使得 由(4 , )式便知函数f x y 在点( 0 0 )可微
四市可微的几何意义定义3设P是曲面S上的一点,II为通过 P的一个平面,曲面S的动点O到定点P和平面II的距离分别d与h(图17-3)若当 O在 S上以任何方式趋近于P 时,恒d有=→0,则称平面II为曲面S在点P处的切平面，Ph为切点。定理17.4 曲面z= f(x,y)在点P(xo,yo,f(xo,y))存在不平行于z轴的切平面I的充要条件是函数f在点P（xo,)可微
四 可微的几何意义 3 17 3 0, P S P S Q P d h Q S P d S P P h − → 定义 设 是曲面 上的一点， 为通过 的一个平 面，曲面 的动点 到定点 和平面 的距离分别 与 （图 ）。若当 在 上以任何方式趋近于 时，恒 有 则称平面 为曲面 在点 处的切平面， 为切点。 ( ) ( ( )) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 17.4 , , , , , . z f x y P x y f x y z f P x y = 定理 曲面 在点 存在不平行于 轴的切平面 的充要条件是函数 在点 可微
证：充分性若函数f在点P,可微,由定义知Nz = z - zo = f. (xo, yo)(x - xo)+ f, (xo, yo)(y - yo)+o(p)其中z = f(xo,),p= /(x-x) +(y-y)°。现在讨论过点 P(x,yo,z)的平面z-z。 = f (xo, yo)(X - xo)+ f,(xo, yo)(Y - yo))其中X，Y，Z是平面上点的流动坐标。我们证明它就是曲面z=f(x,y)在点P的切平面II事实上，由解析几何学知道，曲面上任意一点Q(x,yz)到这个平面的距离为
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , , , , , , . x y x y f P z z z f x y x x f x y y y o z f x y x x y y P x y z f x y X x f x y Y y X Y Z f x y P = − = − + − + = = − + − = − + − 0 证 ：充分性 若函数 在点 可微，由定义知 其中 。 现在讨论过点 的平面 z-z 其中 ， ， 是平面上点的流动坐标。我们 证明它就是曲面z= 在点 的切平面 事实上，由解析几何学知道， ( x y, ) 曲面上任意一 点Q ，z 到这个平面的距离为
z -20 - f,(Xo, o)(x -x0) -J, (o, o)(y- y0)h =/1+ f? (xo,yo)+ f,? (xo, yo)[o(p)]/1+ f?.(xo,yo)+ f,?(xo,y0)另一方面，P到Q的距离为d= (x-x0) +(y-0) +(z-z0) =p* +(z-z0) >ph于是由兰≥ 03.及dh、h_ lo(p)1→0,dpp/1+ f? (xo, yo)+f,(xo,yo)(p→0)
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 , , 1 , , , 1 , , 03. 1 0, 1 , , 0 , x y x y x y x y z z f x y x x f x y y y h f x y f x y o f x y f x y P Q d x x y y z z z z h h o d f x y f x y − − − − − = + + = + + = − + − + − = + − = → + + → 另一方面， 到 的距离为 。 h 于是由 及 d