S3 方向导数与梯度在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数，而且还要知道在其他特定方向上的变化率这就是本节所要讨论的方向导数
§3 方向导数与梯度 在许多问题中, 不仅要知道函数在坐 标轴方向上的变化率 (即偏导数), 而且 还要知道在其他特定方向上的变化率, 这就是本节所要讨论的方向导数
※方向导数的概念定义1 设函数 f(x,y,z)在点 P(xo,yo,zo)的某邻域U(P) R’内有定义，i为从点 P,出发的射线.任给 P(x,,z)einU(P), 记 p=IP,PI, 若极限A,f lim f(P)-f(P)limp→0+p-→0+pp存在，则称此极限为函数f在点P沿方向i的方向af导数，记作, f;(P) 或 f,(xo,Jo,zo).alP
※ 方向导数的概念 定义1 设函数 0 0 0 0 f x y z P x y z ( , , ) ( , , ) 在点 的某邻域 0 0 0 ( ) ( ) lim lim l f f P f P → → + + − = 导数, 记作 0 0 0 0 0 , ( ) ( , , ). l l P f f P f x y z l 或 3 0 0 U P l P ( ) R 内有定义， 为从点 出发的射线.任 f 存在 P0 l , 则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向 0 0 给 P x y z l U P P P ( , , ) ( ), | | = 记 ， 若极限
不难看出：若 f 在点 P存在对x 的偏导数，则f在点 P。沿x轴正方向的方向导数恰为f,;(P)= f.(P) (i=+ Ox);当1的方向为x轴的负方向时，则有f;(P)=-f.(P) (i=-Ox);对于f,与f,也有相应的结论※方向导数与偏导数之间的一般关系定理17.6 若 f(x,y,z)在点 P(xo,yo,zo) 可微,则 f
不难看出: 若 f 在点 P0 存在对 x 的偏导数，则 f 在点 P0 沿 x 轴正方向的方向导数恰为 0 0 ( ) ( ) ( ); l x f P f P l O x −→ = = + 0 0 ( ) ( ) ( ); l x f P f P l O x −→ = − = − 对于 y z f f 与 也有相应的结论． ※ 方向导数与偏导数之间的一般关系 定理17.6 若 0 0 0 0 f x y z P x y z ( , , ) ( , , ) 在点 可微，则 f 当 l 的方向为 x 轴的负方向时，则有
在点P沿任一方向i的方向导数都存在，且f;(P)= fx(P)cosα+ f,(P)cosβ + f,(P,)cos, (1)其中 cosα, cosβ, cosyZ为「的方向余弦4zP证设 P(x,y,z) 为4y4x0i上任一点，于是有（参见图17-5）图17-5
x y z O 图 17 – 5 • • x y z P0 P l 其中 cos , cos , cos 证 设 P x y z ( , , ) 为 有 (参见图17 – 5 ) 在点 P0 沿任一方向 l 的方向导数都存在, 且 0 0 0 0 ( ) ( )cos ( )cos ( )cos , (1) x y z l f P f P f P f P = + + 为 l 的方向余弦． l 上任一点，于是
x= x-x。 =pcosα,(2)Ay = y-yo= pcosβ,Az =z-zo = pcos.由假设f 在点 P,可微，则有f(P)- f(P) = fx(P) △x+ f,(P)△)+f,(P) △z + o(p).上式左、右两边皆除以p，并根据（2）式可得
上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得 0 0 0 cos , cos , cos . x x x y y y z z z = − = = − = = − = (2) f 由假设 在点 P0 可微，则有 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x y f P f P f P x f P y − = + 0 ( ) ( ). z + + f P z o