例3求函数z=x(x>0)的偏导数Oz= :xy-1, Oz解= xlnxoyOx例4 求三元函数u=sin(x+y2-e')的偏导,解把和z看作常数，得Ou=cos(+y2-e")OOx把x，z看作常数，得Qu = 2ycos(x+y? -e)Oy
3 0 ( ) y 例 求函数z x x = 的偏导数. 1 , ln z z y y y x x x x y − = = 解 ( ) 2 4 sin z 例 求三元函数u x y e = + − 的偏导. ( ) ( ) 2 2 cos , 2 cos z z y z u x y e x x z u y x y e y = + − = + − 解 把 和 看作常数，得 把 看作常数，得
把x，看作常数，得Ou - e cos(x + y? -e)Oz三可微性条件定理17.1(可微性的必要条件)若二元函数f在其定义域内一点(xo,J)处可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在,且(1)式中的 A= f,(xo,yo),B= f,(xo,yo)
( ) 2 , cos . z z x y u e x y e z = + − 把 看作常数，得 三 可微性条件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 17.1 , , , , x y f x y f A f x y B f x y = = 定理 可微性的必要条件 若二元函数 在其定义域内一点 处可微， 则 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且 1 式中的
xyx? + y? + 0,x? + y?例5 考察函数f (x,y)=0, x? +y2 =0解?按偏导定义0-0f (Ax, 0) -f (0,0)J. (0, 0) = lim lim=0AxAx-→>0Ax→0△x同理可得f,(0,0)=0。若函数f在原点可微，则z - dz = f (0 +△x, 0+Ay) - f (0,0) - f. (0, 0)△x - f, (0, 0)A)AxAyJAx? + Ay?
( ) 2 2 2 2 2 2 , 0, , 0, 0. xy x y f x y x y x y + = + + = 例5 考察函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 ,0 0,0 0 0 0,0 lim lim 0. 0,0 0 0 ,0 0,0 0,0 0,0 x x x y x y f x f f x x f f z dz f x y f f x f y x y x y → → − − = = = = − = + + − − − = + 解 按偏导定义 同理可得 。若函数 在原点可微，则
应是较p=△x2+Ay2高阶的无穷小量.为此,考察极限△z - dzAxAylimlimp→0p-0pAx? + Ay由第十六章82例3知道,上述极限存在因此函数f在原点不可微
2 2 0 0 2 2 lim lim , §2 3 , , . x y z dz x y x y f → → = + − = + 应是较 高阶的无穷小量.为此,考察极限 由第十六章 例 知道 上述极限存在 因此函数 在原点不可微
定理17.2（可微的充分条件）若函数z=f(x,)的偏导数在点(xo,)的某邻域内存在，且f与f,在点(xo,)处连续,则函数f在点(x,)可微证：我们把全增量写作Az = f (xo +△x,yo +Ay)- f (xo, yo)=[f(xo +△x,yo + Ay) - f(xo,yo + Ay)+Lf(xo, yo + Ay) - f(xo,y) 在第一个括号里，它是函数f(x,+Ay)关于x的偏增量;在第二个括号里，则是函数f(xo,y)关于y的偏增量
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , , , x y z f x y x y f f x y f x y 若函数 = 的偏导数在点 的某 邻域内存在，且 与 在点 处连续， 则函数 在点 可微. 定理17.2 (可微的充分条件) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , z z f x x y y f x y f x x y y f x y y f x y y f x y = + + − = + + − + + + − 证：我们把全增量 写作 ( ) ( ) 0 0 , , f x y y x f x y y 在第一个括号里，它是函数 + 关于 的偏增量； 在第二个括号里，则是函数 关于 的偏增量