《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十七章 多元函数微分学 §1 可微性

第十七章多元函数微分学S1可微性定义1 设函数z=f(x,y)在点P。(xo,)的某邻域有定义对于U(P)中的点P(x,y)=(x+△x,y+Ay),若函数f在点P处的全增量△z可以表示为Nz = f (xo +△x, yo +Ay)- f(x, y) = Ax + BAy+o(p)其中 A,B是仅与点 P,有关的常数,p= x2 +Ay2,o(p)是较p高阶的无穷小量,则称函数f在点P.可微,并称上式中关于△x,△y的线性函数A△x+B△y为函数f在点P,的全微分记作 dzl= df (xo,yo)= A△x + B△)

第十七章 多元函数微分学 §1 可微性 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 1 , , , , , : , , , , , , , z f x y x y U P x x y y f P z z f x x y y f x y A x B y o A B P x y o f P y A x B y f     = = +  +    = +  +  − =  +  + =  +     +  0 0 定义 设函数 在点P 的某邻域有定义 对于 中的点P x,y 若函数 在 点 处的全增量 可以表示为 其中 是仅与点 有关的常数 是 较 高阶的无穷小量 则称函数 在点 可微,并称上式中 关于 x, 的线性函数 为函数 在点P的全微分 ( ) 0 0 0 , , P 记作dz df x y A x B y = =  + 

考察函数f(x,y)=xy在点(xo,y)处的可微性例1解：在点(xo,)处函数f的全增量为Af (xo, yo) =(xo + Ax)(yo +Ay) - xoo= yox + XoAy+ AxAyAx[AyAxAy由于≤p→0(p→0)Oppp因此，△x△y=o(p).从而函数f点(xo,)可微，且df = yoAx + xoAy

例1 考察函数f x y xy x y ( , , . ) = 在点( 0 0 )处的可微性 解: ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , . x y f f x y x x y y x y y x x y x y  = +  +  − =  +  +   在点 处函数 的全增量为 由于 ( ) ( ) ( 0 0 ) 0 0 0 0 , . , . x y x y x y o f x y df y x x y            =    → →   = =  +  因此， 从而函数 点 可微，且

偏导数定义2 设函数z=f(x,y),(x,y)e D,且 f(x,yo)在x的某一邻域内有定义，则当极限Axf (xo, yo) - lim lim f (x +Ax, yo)- f (xo,yo)R存在时，limAxAxAr→0Ar->0称这个极限为函数f在点(xo,y)关于x的偏导数，记作(.) 或0x (x0.y0)若函数z=f(x,y)在区域D上每一点(x,y)都存在对x(或对y)的偏导数，则得到函数z=f(x,J)在区域D上对x(或对y)的偏导函数(也称偏导数)

二 偏导数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 2 , , , , , , , , lim lim , , . x x x x y z f x y x y D f x y x xf x y f x x y f x y x x f x y x f f x y x  →  → =   +  − =     定义 设函数 且 在 的某一 邻域内有定义，则当极限 存在时， 称这个极限为函数 在点 关于 的偏导数， 记作 或 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , z f x y D x y x y z f x y D x y = = 若函数 在区域 上每一点 都存在对 或对 的 偏导数，则得到函数 在区域 上对 或对 的偏导 函数 也称偏导数

记作af (x,y)af (x,y)-. (x,y)或>)或axay.,=,或也可以简单地写作f，，z，或-ayax例2 求函数f(x,)=x3 +2x-在点(1,3)关于x和关于y的偏导数

( ) ( ) ( ) , , ( ) , , , , . x y x x z y f x y f x y f x y f x y x y f f f z f z x y                     记作 或 或 也可以简单地写作 或 或 ( ) ( ) 3 2 3 2 , 2 1 3 f x y x x y y x y 例 求函数 = + − 在点 ， 关于 和关于 的偏导数

解：先求f在点(1,3)关于x的偏导数,为此令 y=3，得到以x 为自变量的函数f(x,3)=x3 +6x2 -27,求它在x=的导数,即df (x,3)J. (1,3) = d= 3x +12x:= 15dx-1x=1再求f在(1,3)关于y的偏导数.先令x=1,得到以y为自变量的函数f (1,y)=2-3y2-,=-25.v=3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 2 3 1 3 ,3 6 27, 1 , 3 1,3 3 12 15. 1,3 1, 2 3 25. x x x y f x x f x x x x df x f x x dx f y y f y y = = = = + − = = = + = = − = − 解：先求 在点 ， 关于 的偏导数， 为此令 y=3 ,得到以 为自变量的函数 求它在 的导数， 即 再求 在 关于 的偏导数.先令x=1,得到 以 为自变量的函数