$2正项级数教学目的：让学生掌握判别正项级数敛散性的各种判别法教学重点：比式判别法和根式判别法教学难点：判别法的推导和应用。教学方法：讲授法教学步骤：正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数一一称为正项级数.如果级数的各项都是负数，则它乘以一1后就得到一个正项级数它们具有相同的敛散性
§2 正项级数 教学目的：让学生掌握判别正项级数敛散性的各种判别法． 教学重点：比式判别法和根式判别法． 教学难点：判别法的推导和应用． 教学方法：讲授法． 教学步骤： 正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号 都相同，则称它为同号级数．对于同号级数，只须研究 各项都是由正数组成的级数——称为正项级数．如果级 数的各项都是负数，则它乘以－1后就得到一个正项级数， 它们具有相同的敛散性．
正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同，则称它是同号级数一一称为对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数正项级数数u，收敛的充要条件是：部分和数列定理12.5正项级数(Sn})有界，即存在某正数 M，对一切正整数n有 Sn< M.证由于 u>O（il,2，)，所以Sn是递增数列而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理）设u，和Zu，是两个正项级数，定理12.6（比较原则）如果存在某正数N，对一切n>N都有Un<Un:(1)
一 正项级数收敛性的一般判别原则 若数项级数各项的符号都相同，则称它是同号级数. 对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数——称为 正项级数. 定理12.5 正项级数 收敛的充要条件是：部分和数列 { }有界，即存在某正数 M ，对一切正整数n 有 un sn s M. n 证 由于 ui 0 （i=1 ,2 , . ), 所以{ } s 是递增数列. n 而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理）. 定理12.6 （比较原则） 设 和 是两个正项级数， 如果存在某正数 N ，对一切 n>N 都有 un n un n . (1)
川收效，则级数Zun也收敛；(i)若级数ZUnZun(ii )若级数Zu.也发散发散，则级数证明因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性，因此不放设不等式（1）对一切正整数都成立Zu,与 Zu,的部分和.由（1)现分别以 Sn 和 Sn 记级数(2)推得，对一切正整数n，都有 Sn≤ Sn若乙U,收敛，即 lim S，存在，则由（2）式对一切有n>aS,≤limSn，即正项级数Zu，的部分和数列（n2)有界,福n→00
则 （i ） 若级数 收敛，则级数 也收敛； （ii ） 若级数 发散，则级数 也发散. n un un n 证明 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性，因此 不放设不等式（１）对一切正整数都成立. 现分别以 和 记级数 与 的部分和.由（１） 推得，对一切正整数n，都有 sn ' sn '' un n sn sn ' '' (2) 若 收敛，即 存在，则由（２）式对一切有 ，即正项级数 的部分和数列｛ ｝有界， n sn n '' lim → s sn n n '' lim ' → un n s
Zun收敛这就证明了）；（ii）为（i)由定理12.5级数的逆否命题，自然成立12例1 考察的收敛性2n -n+1解 由于当 n≥2 时，有1111<22n(n-1)(n-1) -n+1n -nn1N收敛，故由定理12.6和12.3，2 L由于正项级数(n-1)n=21N级数2也收敛n+1n
由定理12.5级数 收敛. 这就证明了（i ）；（ ii ）为（i） 的逆否命题，自然成立. un 例1 考察 − +1 1 2 n n 的收敛性. 解 由于当 n 2 时， 有 ( 1) 2 2 2 1 ( 1) 1 1 1 1 − − = − n − + n n n n n n 由于正项级数 ( 1) 2 2 1 − n= n 收敛，故由定理12.6和12.3 ， 级数 也收敛. − +1 1 2 n n
(3)设Ui+U +...+un+...推论(4)U +U, +... +Un +....lim un =l (5)是两个正项级数，若12.n>o则(i)当0<l<十o0 时，级数（3），（4）同时收敛或同时发散（ii）当1=0 且（4）收敛时，级数（3）也收敛；（i）当l十o且级数（4）发散时，级数（3）也发散证由（5）式，对任意正数 ，存在某正数N，当 n >NUn-l<8时，恒有Un
推论 设 . ., 1 2 u + u + + u + n . ., 1 2 + + + + n 是两个正项级数，若 l n n n u = → lim 则 （i ) 当 时，级数（3），（4）同时收敛或同时发散； （ ii ） 当 且（4）收敛时，级数（3）也收敛； （iii ） 当 且级数（4）发散时，级数（3）也发散. 0 l + l = 0 l = + (3) (4) (5) 证 由（5）式，对任意正数 ，存在某正数N ，当 n N 时，恒有 | −l | n un