82无穷积分的性质与收敛判别授课题目：82无穷积分的性质与收敛判别日的要求·理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别基本的反常积分重点难点·重点无穷积分的比较判别法与柯西判别法难点狄利克雷判别法的证明及应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分教学方法：讲授法教学过程如下：
授课题目:§2 无穷积分的性质与收敛判别 目的要求:理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分 的Cauchy 收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、 Cauchy 判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷判 别法与阿贝尔判别法判别基本的反常积分. 重点难点:重点无穷积分的比较判别法与柯西判别法; 难点狄利克 雷判别法的证明及应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 判别反常积分. 教学方法:讲授法 教学过程如下: §2 无穷积分的性质与收敛判别
说明:以下只给出f(x)dx的性质及收敛判别，其它两种情形类似可得一.无穷积分的性质设F(u)=f(x)dx，则[,f(x)dx收敛与否取决于F(u)当u→+oo时是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得1.无穷积分收敛的柯西准则定理11.1：无穷积分f(x)dx收敛的充要条件是：任给ε>0存在G≥a,只要u、u, >G,便有J" f(x)dx-I" f(x)dx =" f(x)dx<s
一. 无穷积分的性质 是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得 设 = ，则 收敛与否取决于 当 → +时 + F u f x dx f x dx F u u a u a ( ) ( ) ( ) ( ) 说明：以下只给出 的性质及收敛判别，其它两种情形类似可得。 + a f (x)dx 1. 无穷积分收敛的柯西准则 2 1 2 1 1 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) a u u u a a u f x dx G a u u G f x dx f x dx f x dx + − = 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ， 存在 ，只要 、 ，便有 定理11.1：
2.无穷积分的性质性质1:若f,(x)dx与[f,(x)dx都收敛，k,、k,为任意常数，则[。[kifi(x)+k2f2(x)]dx也收敛，且(1)[, [kifi(x)+ k f2(x)]dx = ki ff° fi(x)dx + k2 Jt° fa(x)dx性质2：若f在任何有限区间[α,u]上可积，a<b，则[f(x)dx与「，f(x)dx同敛态（即同时收敛或同时发散），且有[。* f(x)dx= J’ f(x)dx + J f(x)dx(2)
2. 无穷积分的性质 + + + + + + + = + + a a a a a a k f x k f x dx k f x dx k f x dx k f x k f x dx f x dx f x dx k k [ ( ) ( )] ( ) ( ) (1) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 也收敛，且 性质1： 若 与 都收敛， 、 为任意常数，则 性质2： + + + + = + a b b a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f a u a b f x dx ( ) ( ) ( ) (2) ( ) [ , ] ( ) 同敛态（即同时收敛或同时发散），且有 若 在任何有限区间 上可积， ，则 与
3.无穷积分收敛的充要条件无穷积分「f(x)dx收敛的充要条件是：任给ε>0存在G≥α，只要u>G，总有J."f(x)dx<4.无穷积分的绝对收敛与条件收敛若无穷积分[。If(x)|dx收敛，则称(。f(x)dx为绝对收敛;若[t|f(x)dx发散，而[+°f(x)dx收敛，则称[+°f(x)dx为条件收敛
3. 无穷积分收敛的充要条件 + + u a f x dx G a u G f x dx ( ) ( ) 0 存在 ，只要 ，总有 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ， 4. 无穷积分的绝对收敛与条件收敛 若无穷积分 收敛，则称 为 + + a a f (x) dx f (x)dx 若 发散，而 收敛，则称 为 + + + a a a f (x) dx f (x)dx f (x)dx 绝对收敛； 条件收敛
性质3：若f在任何有限区间[a,u]上可积，则有[|f(x)dx收敛，则[f(x)dx ≤J, /f(x)ldx[f(x)dx亦必收敛，且有(3)说明：性质3指出：绝对收敛的无穷积分必收敛，但反之未必（今后举例说明）
性质3： + + + + a a a a f x dx f x dx f x dx f a u f x dx ( ) ( ) ( ) (3) [ , ] ( ) 亦必收敛，且有 若 在任何有限区间 上可积，则有 收敛，则 说明：性质3指出：绝对收敛的无穷积分必收敛，但反之未必。 （今后举例说明）