第四节函数的极值与最大（小）值一、函数极值的定义二、函数极值的求法三、最大值与最小值四、小结
第四节 函数的极值 与最大（小）值 一、函数极值的定义 二、函数极值的求法 三、最大值与最小值 四、小结
一、函数极值的定义xa x,0x x xxs x bXo0xoxx
一、函数极值的定义 o x y a b y = f (x) x1 2 x x3 4 x 5 x 6 x o x y o x y 0 x 0 x
定义设函数f(x）在区间（a，b）内有定义x是(a，b）内的一个点如果存在着点的一个邻域对于这邻域内的任何点x除了点x外，f（x）<fx）均成立就称f(x）是函数f（x）的一个极大值如果存在着点的一个邻域对于这邻域内的任何点x，除了点x外，f(x）>f(x）均成立，就称f（x）是函数f（x）的一个极小值函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点
一、函数极值的求法定理1（必要条件）设（x）在点x.处具有导数，在x处取得极值，那末必定f（x）=0定义 使导数为零的点(即方程 f(x)=0的实根)叫做函数 f(x)的驻点注意：可导函数 f(x)的极值点必定是它的驻点但函数的驻点却不一定是极值点例如，y= x,y|x=o=0，但x=0不是极值点
二、函数极值的求法 设 f (x)在点x0 处具有导数,且 在x0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理1(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 注意: . ( ) , 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但x = 0不是极值点
定理2（第一充分条件）(1)如果xe(x-8,x),有f(x)>0而xe（xo,x+）有f（x）<0，则f(x）在处取得极大值(2)如果x（x-8,x)有f（x)<0而xe（xo,x+）有f（x）>0则f（x）在x.处取得极小值(3）如果当xx-sx及xe(xx+S）时，f（)符号相同，则fx）在x.处无极值yy+ol0Xoxoxx（是极值点情形）
(1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则f (x)在x0处无极值. 定理2(第一充分条件) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形)