欧拉积分$3
§3 欧拉积分
一、『-函数定义 (s)= [e*x*-ldx (s >0)特点：1.积分区间为无穷；2.当s-1<0时被积函数在点x=0的右领域内无界设 I, =f,e*x"'dx, I, = t"e*x"'dx,(1)当s≥1时,I 是常义积分;当0<s<1时
一、 −函数 ( ) ( 0) 0 1 = + − − s e x dx s 定 义 x s 特点: 1.积分区间为无穷; . 2. 1 0 0 右领域内无界 当 s − 时被积函数在点 x = 的 , , 1 1 2 1 0 1 1 + − − − − I = e x dx I = e x dx 设 x s x s (1) 1 , ; 当 s 时 I1 是常义积分 当 0 s 1时
11:e-x.xs-11-5xl-setx而1-s<1,根据比较判别法,I, 收敛x$+1= 0,(2) : lim x2.(e-*xs-l) = limx-→+o exx-→+8T(s)根据极限审敛,I,也收敛由(1), (2) 知Ie-*x"-ldx 对 s>0 均收敛
, 1 1 1 1 1 1 s x s x s x e x e x − − − − = 1 1, , . 而 −s 根据比较判别法 I 1 收敛 (2) lim ( ) lim 0, 1 2 1 = = + →+ − − →+ x s x x s x e x x e x 1, . 根据极限审敛法 I2 也收敛 0 . (1), (2) 0 1 对 均收敛 由 知 + − − e x dx s x s s (s) o
厂一函数的几个重要性质1 . 递推公式(s+1)=sT(s)(s>0)2. 当s →+0 时,I(s) →+o0.元3. 余元公式I(s)(1-s)=(0 <s<1)sin 元s4. 在I(s)={e*x-'dx中, 作代换x=u,有 I(s)=2t"e-"u2-du
Γ-函数的几个重要性质： １．递推公式(s + 1) = s(s) (s 0). ２．当s → +0时 ，(s) → +. (0 1). sin 3 ( ) (1 ) − = s s ．余元公式 s s ( ) 2 . ( ) 0 2 1 2 0 1 2 + − − + − − = = = s e u du s e x dx x u u s x s 有 ４．在 中，作代换
二、B函数定义 B(p,q)=[ xP(1-x)9-ldx, p>0,q>0B一函数的几个重要性质1、B(p,q)在定义域内连续;2、对称性：B(p,q)-B(q,p))
二 、B函数 ( , ) (1 ) , 0, 0 1 0 1 = − − p q x x dx p q p q 定义 B B-函数的几个重要性质： 1、B(p,q)在定义域内连续； 2、对称性：B(p,q)=B(q,p);