第十二章数项级数
第十二章 数项级数
s 1 级数的收敛性教学目的：让学生掌握级数收敛和发散的概念以及收敛级数的性质教学重点：级数收敛定义和柯西准则教学难点：用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性【教学方法：讲授法
教学目的：让学生掌握级数收敛和发散 的概念以及收敛级数的性质． 教学重点：级数收敛定义和柯西准则． 教学难点：用收敛定义和柯西准则判断 级数的敛散性． 教学方法：讲授法． §1 级数的收敛性
定义1给定一个数列（Un}，对它的各项依次用“+"号连接起来的表达式u +u2+Us+...+un+...(1)（也常简称级数)，其中 Un称为数项级数或无穷级数称为数项级数（1）的通项ZunZun 或简单写作数项级数（1）也常写作：=数项级数（1）的前n项之和，记为Zuk= ui+u, +... +unSn =k=1称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和
定义1 给定一个数列{ un } ，对它的各项依次用“ ， +” 号连接起来的表达式 1 2 3 . . u u u un + + + + + 称为数项级数或无穷级数 （也常简称级数 ）， 其中 un 称为数项级数（1）的通项。 （1） 数项级数（1）也常写作： 1 n n u = 或简单写作 un . 数项级数（1）的前n项之和，记为 sn = 1 n k k u = = 1 2 . , u u un + + + 称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和
定义2若数项级数（1）的部分和数列(S收敛于s(即lims，=s），则称数项级数（1)n>8收敛，称s为数项级数（1）的和，记作S= ui+u,+...+u,+..或s=Eu,若Sn是发散数列，则称数项级数（1）发散例1讨论等比级数（也称几何级数）a+aq+aq? +... +aqn+..(3)的收敛性（a ≠0)
定义2 若数项级数（1）的部分和数列{ sn } 收敛于s(即 ，则称数项级数（1） 收敛，称s为数项级数（1）的和，记作 S= 1 2 . . . n n u u u u + + + + = 或s 若{ sn } 是发散数列，则称数项级数（1）发散。 例1 讨论等比级数（也称几何级数） a+aq+aq 2 +.+aqn+. 的收敛性（a 0). lim n n s → =s ) (3)
解q≠1时，级数（3）的第n个部分和nS, = a+aq+. +aqn-1 -a. I - q1-q因此,n1-q-a(1)当lqk1时, lims,=lim1-q 1-qa此时级数（3）收敛，其和为1-g(i)当lq>1时,lims,=0，级数（3）发n>0散。(iii)当q=1时，Sn=na,级数发散
解 q 1时，级数（3）的第n个部分和 sn = a+aq+.+aqn-1=a . 1 1 n q − q − 因此， （I）当|q|<1时， lim lim n n n s → → = a . 1 . 1 1 n a q q − q = − − 此时级数（3）收敛，其和为 1 a − q 。 （ii) 当|q|>1时， lim n n s → = ，级数（3）发 散。 （iii)当q=1时， sn =na,级数发散