第十一章反常积分81反常积分概念目的要求：掌握反常积分敛散性定义，瑕点等概念，掌握些重要的反常积分收敛和发散的例子，会用定义判别反常积分的敛散性重点难点·重点无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散的无穷积分：难点反常积分概念的理解教学方法讲授法教学过程如下：一。问题的提出定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间：函数为有界函数但实际问题很多都涉及无穷区间上的“积分”和无界函数的“积分
第十一章 反 常 积 分 § 1 反常积分概念 一. 问题的提出 定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间；函数为有界函数, 但实际问题很多都涉及无穷区间上的“积分”和无界函数的“积分”。 目的要求:掌握反常积分敛散性定义，瑕点等概念，掌握一 些重要的反常积分收敛和发散的例子，会用定 义判别反常积分的敛散性. 重点难点:重点无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散 的无穷积分;难点反常积分概念的理解. 教学方法:讲授法 教学过程如下:
例1：（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？解：设地球半径为R，火箭质量为m，初速度为vo,地面上的重力加速度为g则火箭在距地心xR)处所受的引力为F= mgR（万有引力定理）x2从而火箭从地面上升到离地心rR处需作的功为['mgRRdx=mgR(-R x?R火箭要无限远离地球，意味着r→+o，此时需作的功为上式右边的极限mgR，也就把上式写为+o mgRdx = lim mgR2(-1-=) = mgRJRx?>+00R1_mv = mgR最后由机械能守恒定律得2把各数值代入可求得结果
例1：（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克 服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？ 万有引力定理） 则火箭在距地心 处所受的引力为 解：设地球半径为 ，火箭质量为 ，初速度为 地面上的重力加速度为 。 ( ( ) , 2 0 x mgR F x R R m v g = 从而火箭从地面上升到离地心r(>R)处需作的功为 = − r R R r dx mgR x mgR ) 1 1 ( 2 2 也就把上式写为 火箭要无限远离地球，意味着r → +，此时需作的功为上式右边的极限mgR， 最后由机械能守恒定律得 mgR R r dx mgR x mgR R r = − = + →+ ) 1 1 lim ( 2 2 mv = mgR 2 0 2 1 把各数值代入可求得结果
例2：圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？解：从物理学知道，当桶内水位高度为h-x时，水从孔中流出的速度为v = /2g(h - x)（其中g为重力加速度）设在很小一段时间dt内，桶中液面降低的微小量为dx，它们满足元Rdx = V元 r?dtR2即dt = dx, x e[ O, h ]r2 J2g(h-x)R?dxt=]。所以流完一桶水所需时间可写为“积分”r2 /2g(h-x)但是因为这里的被积函数是[0，h）上的无界函数，故R?[2 R?(R)2ht = limdx = limh-urr2u-→h-Jou→h/2g(h-x)gg
例2：圆柱形桶的内壁高为h , 内半径为 R ，桶底有一半径为 r 的小孔。 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？ 解：从物理学知道，当桶内水位高度为h-x 时，水从孔中流出的速度为 v = 2g(h − x) (其中g为重力加速度） 设在很小一段时间dt 内，桶中液面降低的微小量为dx,它们满足 , [ 0, ] 2 ( ) 2 2 2 2 dx x h r g h x R dt R dx v r dt − = = 即 所以流完一桶水所需时间可写为“积分” − = h dx r g h x R t 0 2 2 2 ( ) 但是因为这里的被积函数是[ 0 , h )上的无界函数，故 2 2 2 0 2 2 2 ( ) 2 lim 2 ( ) lim = − − = − = → − → − r R g h h h u r R g dx r g h x R t u h u u h
从上面的例题我们知道，通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及无界函数的“积分”。二，无穷区间上的反常积分1.定义无穷区间有三种，分别给出其定义：(1)在[a,+) 上,定义1:设f(x)在[a,+)上有定义，对任何u≥a，f(x)在[a,u]上可积,若存在极限lim J,f(x)dx = J(1)则称J为函数f(x)在[a,+o)上的无穷限反常积分(简称无穷积分），记为J =J+" f(x)dx并称「 f(x)dx收敛。如果极限（1）不存在,称「f(x)dx 发散
从上面的例题我们知道，通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及 无界函数的“积分”。 二. 无穷区间上的反常积分 1.定义 无穷区间有三种，分别给出其定义： (1) [ , ) 在 a + 上, 定义1： 则称 为函数 在 上的 若存在极限 设 在 上有定义，对任何 ， 在 上可积， ( ) [ , ) lim ( ) (1) ( ) [ , ) ( ) [ , ] + = + →+ J f x a f x dx J f x a u a f x a u u u a 无穷限反常积分（简称无穷积分）,记为 + = a J f (x)dx + a 并称 f (x)dx 收敛。如果极限（1）不存在， + a 称 f (x)dx 发散
注意1:从本质上说，当无穷积分[f(x)dx收敛时它是一个数（极限值）；yty= f(x)当无穷积分「f(x)dx发散时它只是一个记号。OaX注意2:「，f(x)dx收敛的几何意义是：若f(x)在[α,+)上为非负连续函数，则其值就是介于曲线y=f(x)，直线x=α以及x轴之间那一块向右无限延伸的区域的面积。（如右图）同理可给出：
1: ( ) a f x dx + 注意 从本质上说，当无穷积分 收敛时它是一个数（极限值）； 当无穷积分 发散时它只是一个记号。 + a f (x)dx 2 : ( ) ( ) [ , ) ( ) a f x dx f x a y f x x a x + + = = 注意 收敛的几何意义是：若 在 上为非负连续函数，则其值就是介于曲 线 ，直线 以及 轴之间那一块向 右无限延伸的区域的面积。(如右图） y = f (x) O x y a 同理可给出: