根据定义3，平面II为曲面z=(x,)在点P的切平面例6 试求抛物面z=ax2 +by2在点M(xo,Yo,zo)处的切平面方程与法线方程解: 因为f,(xo, yo)= 2axo, f,(xo, yo)= 2byo由公式(13)，过M的切平面方程为z - zo = 2axo (x - xo)+2by (y - yo)因为z=aαx+by,所以它可以简化为2axx +2byoy- z - zo = 0
3 , z f x y ( ) P 根据定义 ，平面 = 为曲面 在点 的切平面. ( ) 2 2 6 , , 0 0 0 例 试求抛物面z ax by M x y z = + 在点 处的切平面方程与法线方程. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 , 2 , , 2 , 13 2 2 . , 2 2 0. x y f x y ax f x y by M z z ax x x by y y z ax by ax x by y z z = = − = − + − = + + − − = 解 ：因为 由公式 ，过 的切平面方程为 因为 所以它可以简化为
由公式(14)，过M的法线方程为x-X - -V = z-Zo-12byo2axo例7求1.083.96的近似值解 设f (x,y)= x,令x = 1, o = 4,△x = 0.08,Ay= -0.04由公式(3)有1.083.96 = f (xo +△x, yo +Ay)~ f (1.4) + f. (1.4) △x + f, (1.4)A)=1+ 4 0.08 +14 . ln 1 (-0.04)= 1 + 0.32 = 1.32
3.96 例7 1.08 求 的近似值. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 3.96 0 0 4 , , 1, 4, 0.08, 0.04. 3 1.08 , 1.4 1.4 1.4 1 4 0.08 1 ln1 0.04 1 0.32 1.32. y x y f x y x x y x y f x x y y f f x f y = = = = = − = + + + + = + + − = + = 解 设 令 由公式 有 ( ) 0 0 0 0 0 14 . 2 2 1 M x x y y z z ax by − − − = = − 由公式 ，过 的法线方程为
1例8 应用公式S-absinC计算某三角形面积，现测得=：一2a=12. 50,b=8. 30,C=30°若测量a,b的误差为±0. 01，C的误差为土0.1°求用此公式计算三角形面积时的绝对误差限与相对误差限
1 8 sin 2 . , , S ab C a b = o o 例 应用公式 计算某三角形面积，现测得 a=12.50,b=8.30,C=30 若测量 的误差为 0.01，C的 误差为 0.1 求用此公式计算三角形面积时的绝对误差 限与相对误差限
解依题义，测量中a,b,C的绝对误差限分别元为|Aa| = 0.01,Ab] = 0. 0 1,|AC| = 0. 1° =1800asasas△C由于[AS| ~[ds[△b+△a +daacabasasasAb] +△a≤+ACdaab,[b sin C[Aa| +,la sin C|Ab]+ ,lab cos C|AC]
0.01 0.01 0.1 . 1800 1 1 1 sin sin cos , 2 2 2 o a b C S S S dS a b C a b C S S S a b C a b C b C a a C b ab C C = = = = = + + + + = + + 解 依题义，测量中a,b,C的绝对误差限分别 为 ， ， 由于 S
将各数据代入上式，得到S的绝对误差限为[AS ~ 0. 13,因为= 1 .12.50 8.30.= ~ 25.94.-ab sinCS=222所以S的相对误差限为AS0.13~ 0.5%s25.94
0.13. 1 1 1 sin 12.50 8.30 25.94. 2 2 2 0.13 0.5%. 25.94 S S ab C S S S = = 将各数据代入上式，得到S的绝对误差限为 因为 所以 的相对误差限为