83瑕积分的性质与收敛判别授课题目：823瑕积分的性质与收敛判别自的要求：理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用瑕积分的Cauchy收敛原理、比较判别法判别基本的瑕积分敛散性重点难点：用比较判别法与柯西判别法判别瑕积分的敛散性教学方法：讲授法教学过程如下：说明：(1)本节的内容类似于上节无穷积分的相应的内容；(2)以下只给出f(x)dx(a为瑕点)的性质及收敛判别;其它几种情形类似可得
授课题目:§2 3 瑕积分的性质与收敛判别 目的要求:理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用瑕积分的 Cauchy 收敛原理、比较判别法判别基本的瑕积分敛散性. 重点难点:用比较判别法与柯西判别法判别瑕积分的敛散性. 教学方法:讲授法 教学过程如下: §3 瑕积分的性质与收敛判别 其它几种情形类似可得。 以下只给出 为瑕点）的性质及收敛判别， 说明： 本节的内容类似于上节无穷积分的相应的内容； b a (2) f (x)dx(a (1)
一.瑕积分的性质设F(u)={"f(x)dx,则[f(x)dx收敛与否取决于F(u)当u→at时是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得1.瑕积分收敛的柯西准则定理11.5:瑕积分「f(x)dx(a为瑕点)收敛的充要条件是：任给>0存在>0,只要u、u2 (a,a+)，便有I" f(x)dx- I", f(x)dx -| " f(x)dx <e
一. 瑕积分的性质 是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得 设F u = f x dx，则 f x dx收敛与否取决于F u 当u → a + 时 b a b u ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 瑕积分收敛的柯西准则 定理11.5： − = + 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( , ) ( ) ( 0 1 2 u u b u b u b a f x dx f x dx f x dx u u a a f x dx a 存在 ，只要 、 ，便有 瑕积分 为瑕点）收敛的充要条件是：任给
2.瑕积分的性质性质1:设函数f,与f,的瑕点同为x=a,若[~fi(x)dx与[~f,(x)dx都收敛,ki、k,为任意常数，则['[kjfi(x)+kzf,(x)]dx也收敛，且['[kfi(x) + k ;(x)]dx = ki Jf(x)dx + k J,f,(x)dx(1)性质2:设函数f的瑕点为x=a,c e(a,b)为任一常数。则瑕积分[~f(x)dx与[~f(x)dx同敛态，且有, f(x)dx = Jf(x)dx + J°f(x)dx(2)其中右边第二项是定积分
2. 瑕积分的性质 性质1： + = + + = b a b a b a b a b a b a k f x k f x dx k f x dx k f x dx k k k f x k f x dx f f x a f x dx f x dx [ ( ) ( )] ( ) ( ) (1) [ ( ) ( )] , ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 、 为任意常数，则 也收敛，且 设函数 与 的瑕点同为 若 与 都收敛， 性质2： 其中右边第二项是定积分。 与 同敛态，且有 设函数 的瑕点为 为任一常数。则瑕积分 = + = b a b c c a c a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x a c a b ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) , ( , )
3.瑕积分的绝对收敛与条件收敛设函数的瑕点为x=a,若瑕积分[lf(x)dx收敛，则称瑕积分f(x)dx 绝对收敛;若['lr(x)|dx发散，而[f(x)dx收敛则称瑕积分[~f(x)dx 条件收敛。性质3：设函数的瑕点为x=a,f在(a,b的任一内闭区间[u,b]上可积。则当[lf(x)dx收敛时,[,f(x)dx亦必收敛，且有[, f(x)dx≤ J,1(x)dxx (3)说明：性质3指出：绝对收敛的瑕积分必收敛，但反之未必。（今后举例说明）
3. 瑕积分的绝对收敛与条件收敛 设函数 的瑕点为 = 若瑕积分 收敛，则称 b a f x a, f (x) dx 绝对收敛； 若 发散，而 收敛， b a b a f (x) dx f (x)dx 条件收敛。 b a 瑕积分 f (x) dx b a 则称瑕积分 f (x) dx 性质3： = b a b a b a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x a f a b u b ( ) ( ) (3) ( ) ( ) , ( , ] [ , ] 则当 收敛时， 亦必收敛，且有 设函数 的瑕点为 在 的任一内闭区间 上可积。 说明：性质3指出：绝对收敛的瑕积分必收敛，但反之未必。 （今后举例说明）
二。瑕积分敛散性的判别1.瑕积分收敛的比较判别法（1）不等式形式定理11.6：设定义在(a,bl上的两个函数f和g瑕点均为x=a都在任何区间[u,blc(a,bl上可积，且满足Lf(x)<g(x), xe(a,bl则(1)当[~g(x)dx收敛时,f1f(x)|dx必收敛;(2)当[~1 f(x)|dx发散时,J,g(x)dx必发散。（与级数类）定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散
二. 瑕积分敛散性的判别 1. 瑕积分收敛的比较判别法 （1）不等式形式 定理11.6： ( , ] , [ , ] ( , ] | ( ) | ( ) ( , ] 1 ( ) | ( ) | 2 | ( ) | ( ) b b a a b b a a a b f g x a u b a b f x g x x a b g x dx f x dx f x dx g x dx = 设定义在 上的两个函数 和 瑕点均为 都在任何区间 上可积，且满足 ， 则（）当 收敛时， 必收敛； （ ）当 发散时， 必发散。 定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散。（与级数类）