《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十七章 多元函数微分学 §4 泰勒公式与极值问题

第十七章量多元函数微分学817.4#泰勒公式与极值问题一、高阶偏导数1、引入（以二元函数为例）例如: 设 z = x y2 - 3xy3 - xy+1e-3y-3y-y.%-2y-9m-max他们仍然是一个二元函数，且两个偏导数都存在，所以有：

第十七章 多元函数微分学 §17.4 泰勒公式与极值问题 一、高阶偏导数 * 1、引入（以二元函数为例） 例如:设 2 2 3 3 2 3 3 , 2 9 ; z z x y y y x y xy x x y   = − − = − −   3 2 3 z x y xy xy = − − + 3 1 他们仍然是一个二元函数，且两个偏导数都存在，所以有：

aaQ中16x2y- 9y2-1,oxCOxOxOy ax它们还是二元函数，还可以对它们求偏导数，于是有0.0..zQz2.0.0()1 = 6)]= 12xy-Ox Ox OxOy Ox Ox把一个函数的一阶偏导数的偏导数称为它的二阶偏导数：把二阶偏导数的偏导数称为它的三阶偏导数等等，依次类推可得函数的四、五、六······各阶偏导数

它们还是二元函数，还可以对它们求偏导数，于是有 [ ( )] z x x x       6 , 2 = y [ ( )] x z y x       =12xy, 把一个函数的一阶偏导数的偏导数称为它的二阶偏导数； 把二阶偏导数的偏导数称为它的三阶偏导数 等等，依次 类推可得函数的四、五、六   各阶偏导数. 2 2 2 ( ) 6 , ( ) 6 9 1, z z xy x y y x x y x     = = − −    

二元函数的各阶偏导数的记号及最多个数为azOz一阶2个axy二阶22个a?z0°za?za?zax?axdyayox三阶23 个///z3zax3axay

二元函数的各阶偏导数的记号及最多个数为： 一阶2个 x z   y z   二阶 个 2 2 2 2 x z   x y z    2 y x z    2 2 2 y z   三阶 3 2 个 3 3 x z   x y z    2 3 

由此可见：二元函数的n阶偏导数最多有 2n个除此之外各阶偏导数还有一些不同的记号（见课本）类似的有三元函数 u= f(x,,x）的各阶偏导数,0如: a?uanaa'uax?axOxax'aya?a'ua'uaaOuan2axdyax?oyayoxozzdzax dy

由此可见： 二元函数的n阶偏导数最多有 n 2 个 除此之外各阶偏导数还有一些不同的记号（见课本）. 类似的有三元函数 u = f (x, y, x) 的各阶偏导数， 如： ( ) 2 2 x u x x u     =   ( ) 2 2 2 3 x u x y y u     =    ( ) 2 2 2 3 y u y x x u     =    [ ( )] 3 y u y x z z x u       =    

2、高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数函数z=f(x,J)的二阶偏导数为a'za(αz)0-1.0)a(αz)frr(x,y),一ax?ax(ax)ay(ay)纯偏导a"za ( oz0(%)a'zr,y)= fx(x,y)y(ax)axdyax(ay)ayax混合偏导

( , ), 2 2 f x y x z x z x = xx    =          ( , ) 2 2 f x y y z y z y = yy    =          ( , ), 2 f x y x y z x z y = xy     =          ( , ) 2 f x y y x z y z x = yx     =          函数z = f (x, y)的二阶偏导数为 纯偏导 混合偏导 定义： 二阶及二阶以上的偏导数统称为高 阶偏导数. 2、高阶偏导数