5上函数的凸性与拐点定义1设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点Xi，x和任意实数 ε(O,1) 总有f(ax, +(1-2)x2)≤af(x)+(1 - 2)f(x,)则称f为I上的凸函数。反之，如果总有f(ax, +(1-a)x2) ≥ af(x)+(1-a)f(x,),则称f为I上的凹函数如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数
5 函数的凸性与拐点 定义1 设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点 1 2 x x, 和任意实数 (0,1) 总有 1 2 1 2 1 2 1 2 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), f x x f x f x f x x f x f x + − + − + − + − 则称f为I上的凸函数。反之，如果总有 则称f为I上的凹函数。 如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式， 则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数
引理f为上的凸函数的充要条件是：对于上的任意三点 x,<x<x，总有f(xz)-f(x) f(xg)-f(xz)X2 - XiX3 - X2证[必要性] 记=±二±,则x,= x +(1-2),由的凸性知道x3 -xif(x2)= f(x, +(1-a)x,)≤af(x)+(1-a)f(x3)X3 -X2f(x)+2二= f(x,),X3 -XiX3 -Xi从而有(x -x)f(x)≤(x, -x)f(x)+(x2 -x)f(x3)(x, -x)f(x)+(x, -x)f(x)≤(x, -x,)f(x)+(x, -x)f(x,)
引理 f 为I上的凸函数的充要条件是：对于I上 的任意三点 1 2 3 x x x , 总有 2 1 3 2 2 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . f x f x f x f x x x x x − − − − 3 2 2 1 3 3 1 2 1 3 1 3 3 2 2 1 1 3 3 1 3 1 [ ] , (1 ) . ( ) ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ), x x x x x f x x f x f x x f x f x x x x x f x f x x x x x − = = + − − = + − + − − − = + − − 证 必要性 记 则 由 的凸性知道 从而有 3 1 2 3 2 1 2 1 3 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x − − + − − + − − + −
整理后即得（3）式[充分性]在I上任取两点xj,x,(x, <x,),在[xi,x3]上任取一点x, = x, +(1-)x,几e(0,1),即=些-2X3 -Xi由必要性的推导逆过程，可证得f(ax +(1-a)x)≤af(x)+(1-a)f(x)故f为I上的凸函数。同理可证，f为I上的凸函数的充要条件是：对于1上的任意三点x<x<x3,有f(x2)-f(x) f(xs)-f(x) <f(xs)-f(x2)X2 - XX3 -XiX3 - X2
1 3 1 3 1 3 3 2 2 1 3 3 1 1 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 , ( ), [ , ] (1 ) , (0,1), . ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), , ( ) ( ) I x x x x x x x x x x x x x f x x f x f x f I f I I x x x f x f x f x x − = + − = − + − + − − − 整理后即得（3）式。 [充分性] 在 上任取两点 在 上任取一点 即 由必要性的推导逆过程，可证得 故 为 上的凸函数。 同理可证， 为 上的凸函数的充要条件是：对于 上的任意三点 有 3 1 3 2 3 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . x f x f x f x x x x x − − − −
定理6.13设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价1°f为I上凸函数;2°f为I上的增函数;3° 又对I上的任意两点x，X,,有f(x,)≥ f(x,)+f (x)(x2 -x).证（1°→2)任取I上两点xj,x,(x<x,)及充分小的正数h. 由于x, -h<x, <x2 <x2 +h,根据f的凸性f(x)-f(x -h) f(x2)- f(x) f(xz +h)-f(x2)及引理有hhX2 - Xi由f是可导函数，令h→0时可得I(a)≤(3)-1(a ≤ (5),X2 - Xi所以f为I上的递增函数
定理 6.13 ' 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 ( )( ). , ( ) ( ) ( ) ( ) . f f x x x h x x x h f x f x f x h f x x x h − → − + − + − − 1 2 ' 2 1 1 2 1 2 1 1 1 设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价： 为I上凸函数； 为I上的增函数； 3 对I上的任意两点x ,x ,有 f(x ) f(x )+f 证 （1 2）任取I上两点x ,x (x <x )及充分小 的正数h.由于x 根据f的凸性 f(x )-f(x -h) 及引理有 h 由f ' ' 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ), f x f x f x f x x x → − − + ' 是可导函数，令h 0 时可得 所以f为I上的递增函数
(2°→3°） 在以x,x(x<x)为端点的区间上,应用拉格朗日中值定理和f递增条件，有f(x)- f(x) = f(=)(x2 -x)≥ f(x)(x2 -x)移项后即得（5）式成立，且当x >x,时仍可得到相同结论。(3°→1)设以xi,x,为I上任意两点，x,= x, +(1-)x2,0<<1.由3,并利用Xi -x, =(1- )(xi -x2)与x2 -x, = (x2 -x),f(x)≥ f(x)+ f(x,)(x, -xs)= f(x,)+(1-a)f(x,)(x -x2),f(x2) ≥ f(x,)+ f(xs)(x2 -x3) = f(x)+af (x)(x2 -x)分别用^和1－乘上列两式并相加，便得af(x)+(1-a)f(x2)≥ f(x3)= f(ax, +(1-a)x2)从而f为I上的凸函数
1 2 1 2 ' ' ' 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 1 2 2 3 2 1 (2 3 ) , ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ). (3 1 ) , (1 ) , 0 1. 3 (1 )( ) ( ), x x x x f f x f x f x x f x x x x x x x I x x x x x x x x x x x → − = − − → = + − − = − − − = − 在以 为端点的区间上， 应用拉格朗日中值定理和 递增条件，有 移项后即得（5）式成立，且当 时仍可得到相同结论。 设以 为 上任意两点， 由 ，并利用 与 ' ' 1 3 3 1 3 3 3 1 2 ' ' 2 3 3 2 3 3 3 2 1 1 2 3 1 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) (1 ) ( )( ), ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ). 1 ( ) (1 ) ( ) ( ) ( (1 ) ). f x f x f x x x f x f x x x f x f x f x x x f x f x x x f x f x f x f x x f I + − = + − − + − = + − − + − = + − 分别用 和 乘上列两式并相加，便得 从而 为 上的凸函数