§1.3最大公约式 定义31设f(x),g(x)是2x中不全为零的多项式如果l(x) 是f(x)和g(x)的公因式,而且f(x)与g(x任何公因式均能整 除(x),则称d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式 定理31数域9上的任意两个不全为零的多项式f(x),g(x) 均有最大公因子,且对于它们的任意最大公因式d(x)均有 (x,y(x)∈x,使得 d(x)=(x)f(x)+(x)g(x) 上页下 圆回
§1.3 最大公约式 3. 1 ( ), ( ) [ ] , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x x d x f x g x f x g x d x d x f x g x 定义 设 是 Ω 中不全为零的多项式 如 果 是 和 的公因式, 而 且 与 的任何公因式均能整 除 ,则称 是 与 的一个最大公因式. 3.1 ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) [ ], ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). f x g x d x x x x d x x f x x g x φ ψ φ ψ Ω Ω = + 定理 数域 上的任意两个不全为零的多项式 均有最大公因子,且对于它们的任意最大公因式 均有 ∈ 使得
证明先证明最大公因式的存在性当g=O时,易知是f,g的一个 最大公因式此时取=1,=O即可.若g≠0,则用g去除f,并设所 得的余式为当≠O时再用去除g,并设所得余式为2;当2≠O时, 用2去除,只要所得余式不为零,就用它去除上一个余式 如此辗转下去.因为这些余式的次数逐渐降低,所以辗转相除的 过程必在有限步后终止,从而有n使得n≠0但1=0.于是, f=gg+r 8=91 +552 hi=q2l2+73, (3.1) 2=qn- r;+ Mm-=qn 上页下 圆回
1 1 1 2 2 2 1 1 . 0 , , , 1, 0 0, , . 0 , , 0 0 0 n n g f f g g g f r r r g r r r r r r φ ψ + = = = ≠ ≠ ≠ ≠ = 证明 先证明最大公因式的存在性当 时 易知 是 的一个 最大公因式 此时取 即可.若 则用 去除 并设所 得的余式为 当 时 再用 去除 并设所得余式为 ;当 时， 用 去除 ,只要所得余式不为零,就用它去除上一个余式, 如此辗转下去.因为这些余式的次数逐渐降低,所以辗转相除的 过程必在有限步后终止,从而有n使得 但 .于是, 1 1 1 2 1 2 2 3 , , , f qg r g q r r r q r r = + = + = + 2 1 1 1 (3.1) , . n n n n n n n r q r r r q r − − − − = + =
现在证明,就是f,g的一个最大公因式首先,从(3.1)的最后一个 等式依次往上看可知 故:是f,g的一个最大公因式其次设b是f,g的任意一个公因式则从(3 中的第一个等式依次往下看可知 hF,hn2…,hr1,h12 于是,是,g的一个最大公因式 下面证明v的存在性从上面的第一个等式可得,=f+(-q)g, 将其代入第二式又得n1=(-q)f+(1+qq)g,再代入下一个式子,并如此 下去到第n式便可得v∈9x使得n=pf+vg 上页下 圆回
1 2 1 1 2 , , . | , | , , | , | , | , , . , , . (3.1) | , | , n n n n n n n n n r f g r r r r r r r g r f r f g h f g hrhr − − … 现在证明 就是 的一个最大公因式首先,从(3.1)的最后一个 等式依次往上看可知, 故 是 的一个最大公因式其次 设 是 的任意一个公因式则从 的第一个等式依次往下看可知, 1 1 2 1 1 , | , | . , . , ( ) , ( ) (1 ) , , [ ] . n n n n h r h r r f g r f q g r q f qq g x r f g φ ψ φ ψ φ ψ − = + − = − + + Ω = + … 于是, 是 的一个最大公因式 下面证明 的存在性.从上面的第一个等式可得, 将其代入第二式又得 再代入下一个式子,并如此 下去到第n式便可得 ∈ 使得
例31设f(x)=x4+x3-3x2-4x-1,g(x)=x3+x2-x-1,求(f,g) 以及多项式p,使得(f,g)=df+vg 解辗转相除可按下面的格式进行, 2x+4=ax+x2-x-1=8x2+x-3x2-4x-1=f|x=q x+÷x2+-x x+x x x2-号x-1-2x2-3x-1=1x+号=q12 x2-3x-4-2x2-x x 3 x-1 0=r 3 上页
4 3 2 3 2 3.1 ( ) 3 4 1, ( ) 1, , , ( , ) . f x x x x x g x x x x f g φ ψ f g φ f ψ g = + − − − = + − − = + 例 设 求( ) 以及多项式 使得 3 2 4 3 2 1 1 2 4 1 3 2 3 1 4 3 2 2 2 1 2 3 2 8 4 2 2 1 3 3 2 1 1 2 3 2 2 4 4 3 3 4 4 2 , 1 3 4 1 1 2 3 1 2 x x x g x x x x f x q x q x x x x x x x x x x x r x q x x x x x r + − − = + − − − = = − + = + + + − − − − − − − − = + = − − − − − − − = 解 辗转相除可按下面的格式进行 3 1 1 0= x x r − − − −
由此可得,2=-是x-是f(x)和g(x)的一个最大公因式,故 (f(x),g(x)=x+1进一步, 2=g-q=8-q1(-g)=-qf+(1+qq1)g 令=—号x-3,W=3x2-3x-,则,g)=f+vg 定理32设f(x),g(x)∈!Lx],则f(x)与g(x)互质当且仅当 有多项式(x),v(x)∈g使得 (x)f(x)+y(x)g(x)=1 定义3,2设∫(x),g(x)∈Ω[x若(f(x),g(x)=1,则称 f(x)与g(x)互质 国园國[回
3 3 2 4 4 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 3 3 3 3 3 4 , ( ) ( ) ( ( ), ( )) 1. ( ) (1 ) . , , ( , ) . r x f x g x f x g x x r g q r g q f qg q f qq g φ ψ x x x f g φ f ψ g = − − = + = − = − − = − + + = − − = − − = + 由此可得 是 和 的一个最大公因式,故 进一步, 令 则 3.2 ( ), ( ) [ ], ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. f x g x x f x g x x x x f x x g x φ ψ φ ψ Ω Ω + = 定理 设 则 与 互质当且仅当 有多项式 使得 ∈ ∈ 3.2 ( ), ( ) [ ]. ( ( ), ( )) 1, ( ) ( ) . f x g x x f x g x f x g x 定义 设 Ω = 若 则称 与 互质 ∈