第五章 线性微分方程组 教学目的 讨论线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系数方程组 基本解矩阵的求法） 教学要求 理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法，掌握线性微分方程组的 基本理论和基本解矩阵的性质，掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别 是 expA 的定义、性质和计算方法，理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的 关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程。 教学重点 解的存在唯一性定理；叠加原理；向量函数的线性相关性的定义；Wronsky 行列式； 解矩阵的定义和性质；常数变易法；解的结构；矩阵指数 expA 的定义及其性质； 基本解矩阵的计算公式。 教学难点 向量和矩阵列的收敛性的定义；二者的范数定义及其相关性质；向量函数的线性相关性； Wronsky 行列式的定义及其性质；根子空间的分解；基本解矩阵的计算公式的推导。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 前面几章研究了只含一个未知函数的一阶及高阶微分方程,但在许多实际问题(如工程, 物理,生物等)和一些理论问题中,往往涉及若干个未知函数以及它的导数的方程组成的方程 组,即微分方程.本章将介绍一阶微分方程组的一般解法,重点仍在线性方程组的基本理论和 常数变易线性方程组的解法. §5.1 存在唯一性定理 教学目的 讨论线性微分方程组的解的存在唯一性定理。高阶线性微分方程与线性微分方程 组的关系
教学要求 理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法，理解高阶线性微分方程 与线性微分方程组的关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分 方程。 教学重点 存在唯一性定理及其证明 教学难点 向量和矩阵列的收敛性的定义；二者的范数定义及其相关性质。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 1. 线性微分方程组的有关概念 例,多回路的电路问题,如图所示是含有两个回路的电路问题E(t)是电源电压,I是电感, C是电 容器的电路 R1 和 R2 是两个电阻, 1 i 是通过电感L的电流, 2 i 是通过电容C的电流,其中L,C, R1 和 R2 是常数,E(t)是已知函数,所列出 1 i 及 2 i 应满足的微分方程. 解:根据基尔霍夫第二定理,得: − + + = + − = t i s ds C R i i R i R i i E t dt di L 0 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) 即 − + + = + − = 0 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 i dt C di R dt di dt di R R i i E t dt di L 故 + + + − + + = − = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 t R R L R i R R R C L i R R R dt di t L i L R i L R dt di 以上就是一个关于 1 2 i ,i 的线性微分方程组
1. 线性微分方程组的定义: a 形为： = + + + + = + + + + = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 2 1 11 1 12 2 1 1 x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t n n n nn n n n n n n : (5.1) 的微分方程组,形为一阶线性微分方程组,其中 ij a (i,j=1,2 ```n) i f (t)(i=1,2`````n)在 a t b 上连续. b 设函数组 ( )( 1,2 ) xi1 t i = n 在 a t b 上可微,且 ( ) ( ) 1 1 2 2 a x a x a x f t dt dx t i i in n i i = + ++ + (i = 1,2n) 则称函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t n 为微分方程组(5.1)的在 a t b 上的一个解. (5.1)含有n个独立常数为 n c ,c , ,c 1 2 的解 xi = i (t,c1 ,c2 , ,cn ),i =1,2, ,n 称为(5.1)的通解. 2. 函数向量和函数矩阵 在线性微分方程组的讨论中,向量,矩阵及其用到是非另有用的,下面我们将介绍有关函 数向量和函数矩阵(即向量,矩阵元素为函数)的一些基本性质. (1) 函数向量和函数矩阵 n阶函数列向量定义为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 x t x t x t x t n 每一 x 9t)(i 1,2, ,n) i = 在区间内Ie有定义. nn 函数矩阵A(t)定义为 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 22 12 1 21 11 a t a t a t a t a t a t a t a t a t A t nn n n n n 每一 a (t) ij 在Ie有定义 注:关于向量或矩阵的代为运算的性质,对于以上函数作为元素的矩阵同样成立. (2) 函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念
如果函数向量x(t)或函数矩阵A(t)的每一个元素都是区间 a t b 上的 可积函数 可微函数 连续函数 ,则 称x(t)或A(t)在 a t b 上 可积 可微 连续 此时,它们的导数与积分分别定义为: = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 x t x t x t x t n , = ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) 2 1 2 22 12 1 21 11 a t a t a t a t a t a t a t a t a t A t nn n n n n = t t n t t t t t t x s ds x s ds x s ds x s ds 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 , = t t n n t t n t t n t t n t t t t t t n t t t t t t a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds A s ds 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 注:关于函数向量及矩阵的概念,积分运算法法则和普通及值函数类型. (3)矩阵向量的基数 定义:对于n阶列列向量 T n x (x , x , , x ) = 1 2 及 nn 矩阵 A = aij nn ( ) ,定义它们的基数为 = = i 1 i x x , = = n i j A aij , 1 , 设A,B是 nn 矩阵,x和y是n阶列向量,A(t),x(t)是在[a,b]上,可数的函数矩阵和向量,则易验证 有下面的性质. o 1 AB A • B , A1 A • x 0 2 A+ B A + B , x + y x + y 0 3 x s ds x s ds b a b a ( ) ( ) , A s ds A s ds b a b a ( ) ( ) , (a b) (4)向量与矩阵序列的收敛性 a 向量序列 xk , T k k k nk x (x , x , , x ) = 1 2 称为在 a t b 上收敛(一致收敛)的. 如果对于 每一个 i(i = 1,2, ,n) ,函数序列 xk (t) 在 a t b 上收敛(一致)收敛的
B 设 =1 ( ) k k x t 是函数向量收敛,如果其部分和所作成的函数向量序列在 a t b 上收敛(一 致收敛),则称 =1 ( ) k k x t 在 a t b 上收敛(一致收敛). 如果 k Mk x (t) , a t b 而级数 =1 ( ) k k x t 收敛,则函数向量级数 =1 ( ) k k x t 在 a t b 上是一致收敛的. 如果连续函数向量序列 xk (t) 在 a t b 上收敛(一致)收敛的,则 x t dt x t dt k b a k b a k k ( ) ( ) lim → lim → = 对矩阵序列也有类似的结果 设 Ak 是 nn 矩阵序列,其中 n n k Ak = aij ( ) ( ) ,如果对一切 i, j = 1,2, ,n ,数列 k Aij 却收 敛,则称 Ak 也是收敛的. 设 k=1 Ak 是矩阵级数,如果其部分和所作成的矩阵序列是收敛的,则称 k=1 Ak 收敛. k=1 Ak 收敛 =1 ( ) k k aij 收敛,( i, j = 1,2, ,n ). 如果对于每一个阶数k,都有 AK MK || || 而 k =1 M k 收敛,则 k=1 Ak 发散。 同样，可给出函数矩阵级数 =1 ( ) k k A t 的一致收敛定义和有关结果。 （5）一阶微分方程组的向量表示 对（5.1） 若记 T n T ij n n n A(t) (a (t)) , x (x , x , , x ) , f (t) ( f (t), f (t)) 1 , = * = 1 2 = 则(5.1)可写成 A(t)x f (t) dy dx = + (5.4) 定义 1 设 A(t)是 a t b 上的连续的 n*n 矩阵,f(t)在 a t b 上连续的 n 维向量,方程组