广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（教案讲义）第五章 线性微分方程组 5.2 线性微分方程组的一般理论

§5.2 线性微分方程组的一般理论 教学目的 讨论线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系数方程组 基本解矩阵的求法） 教学要求 掌握线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质，掌握常系数线性方程组基 本解矩阵的计算 教学重点 解的叠加原理；向量函数的线性相关性的定义；Wronsky 行列式；解矩阵的定义和 性质；常数变易法；解的结构 教学难点 向量函数的线性相关性；Wronsky 行列式的定义及其性质。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 这一节,我们讨论线性微分方程组 x  = A(t)x + f (t) (5.14) 的基本理论 , 主 要 研 究 它 们 解 的 结 构 问 题 , 这 里 A(t)和f (t)在a  x  b上连续, 若f (t)  0,则(5.14)变为 x  = A(t)x (5.15) (5.15)称为齐线性的,若 f (t)  0 ,则称(5.14)为非齐线性的,并称(5.15)为(5.14)的对应齐 线性方程组. 齐线性微分方程组 我们讨论(5.15)通解的结构,与 n 阶线性齐次方程类似,也有下面的叠加原理 定 理 2. 设 x1 (t), x2 (t),, xm (t)也是(5.14)的m个解,则它们的 线性组合

( ) (5.15) , , , , . 1 2 1 也是 的解 这里则有 m是任常数 M i i i c x t c c  c = Proof: 因 xi (t)(i =1,2,,m)是(5.15)的解,则有 A(t)x (t) dt dx i i = (i =1,2,,m) 所以 ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 m m m m m m m m A t c x c x c A t x t c A t x t dt dx c dt dx c c x c x dt d = ++ = ++ = ++ ++ ( ) (5.15) . 1 =  M i i i c x t 也是 的解 定理 2 表明,(5.15)的所有解构成一个线性空间,自然要问,此空间的维数是多少呢?为此,先引 时进向量函数 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t  m 线性相关的概念. 定义: 设 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t  m 是一组定义在区间 a  x  b 上的函数向量,如果存在一 组不全为零的常数 m c ,c , ,c 1 2  ,使得对所有 a  x  b 有恒等式 c1 x1 (t) ++ cm xm (t)  0 成立,则称此组函数向量在区间 a  x  b 上线性相关,否则,就称此组函数向量在 a  x  b 上是线性无关的. 例1. 证明,函数向量组           − =           = t t x t t t x t 1 1 sin 1 , ( ) cos ( ) 2 2 2 1 在任何区间上都是线性相关的. Proof : 取 c1 =1,c2 = −1,则           +  0 0 0 ( ) ( ) 1 1 2 2 c x t c x t t 故 ( ), ( ) 1 2 x t x t 在 a  x  b 线性相关

例2. 证明函数向量组           =           =           = − 0 , 1 0 0 , 3 2 1 3 1 1 t t t t t e e x e x e e x 在 (−,+) 上线性无关. Proof: 要使 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 3 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2            +           +           + + = − t t t t t e e c e c e e c x t c x t c x t c 成立,则需           =                     − 0 0 0 1 0 0 0 3 2 1 3 3 2 c c c e e e e e t t t t t −   t  + 因为 2 0 1 0 0 0 3 3 4 2 = −            − t t t t t t e e e e e e 所以得※ c1 = c2 = c3 = 0,故x1 , x2 , x3线性无关 下面介绍(5.15)解的函数向量组 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在所定义区间上线性相关的判别准则 设有 n 个定义在区间 a  x  b 上的向量函数               =              = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 21 11 1 x t x t x t ， ，x t x t x t x t x t nn n n n n 由这个向量函数构成的行列式                         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 x t x t x t x t x t x t x t x t x t W x t x t W t n n n n n n n 称为这些向量函数的 Wronsky 行列式 定理 3.如果向量函数 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  x  b 上线性相关,则它们的 Wronsky 行列 式 W (t)  0 , a  t  b . Proof: 因 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  x  b 上线性相关,从而存在不全为零的常数

n c ,c , ,c 1 2  使 ( ) ( ) ( ) 0, c1 x1 t + c2 x2 t ++ cn xn t  a  x  b 从而对任一确定的 t 0 a,b,常向量组 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 均线性相关,因而 W(t 0 ) = 0, 由 0 t 的任意性,故有 W (t)  0 , t a,b. 定理 4.如果(5.15)的解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 线性无关, 那么它们的 Wronsky 行列式 W (t)  0, a  t  b . Proof: “ 反证法 ” , 若 有 t 0 ,a  t 0  b,使得W(t) = 0,则常向量组 ( ), , ( ) 1 0 0 x t x t  n 线性相关,即存在不全为零的常数 n c c c ~ , , ~ , ~ 1 2  使得 ( ) 0 ~ ( ) ~ ( ) ~ c1 x1 t 0 + c2 x2 t 0 ++ cn xn t 0 = (5.17) 现在考虑函数向量 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 1 2 2 x t c x t c x t c x t = + ++ n n 由定理 2, ( ) ~ x t 是(5.15)的解,由(5.17)知,设解 ( ) ~ x t 满足初始条件 ( ) 0 ~ x t 0 = ,因此由解的存 在唯一性定理知, ( ) 0 ~ x t = ,即有 c x t c x t c x t t a b n n ( ) 0, , ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 1 + 2 2 ++   故解组 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  t  b 上线性相关,矛盾. 注:(5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 线性相关  W (t)  0 , t a,b (5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 线性无关  W (t)  0 , t a,b 即(5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 做成的 Wronsky 行列式 W (t) 或者恒等于零,或者恒不 等于零. 注 2.(5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  t  b 上线性无关的充要条件为存在 t a,b 0  , 有 W(t 0 )  0. 定理 5.(5.15)一定存在 n 个线性无关的解 Proof: 任取 t a,b 0  ,根据解的存在唯一性定理,(5.15)一定存在满足初始条件

              =              =              = 1 0 0 , ( ) 0 1 0 , ( ) 0 0 1 ( ) 1 0 2 0 0 x t x t ，x t n 的解 x1(t),x2(t),.,xn(t) t∈[a,b],且以该组作出的 Wronsky 行列式在 t0 处取值为 W(t0)=1 ≠0，因此由定理 3 可知: x1(t),x2(t),.,xn(t)在[a,b]上线性无关。 定理 6（通解结构定理），如果 x1(t),x2(t),.,xn(t)是(5、15)的 n 个线性无关组的解，则 ⑴ = = n n i i x t c x t 1 ( ) ( ) 是的通解，其中 c1,c2,.,cn 是的任常数， ⑵ (5、15) 的任一解 x(t) 均可表为 xi (i=1,2,.,n) 的线性组合。 Proof:由定理 2 知， = = n n i i x t c x t 1 ( ) ( ) 是 (5、15)的解它包含 n 个任常数，又因为, ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 n n c c c x x x     = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 x t x t x t x t x t x t x t x t x t n n nn n n        = w(t)≠0 故 c1,c2,.,cn 彼此独立，于是 = = n n i i x t c x t 1 ( ) ( ) 为 (5、15) 的通解。 ⑵设 x(t)是(5、15) 的任一解，且 x(to)=xo, 因 x1(t),x2(t),.,xn(t)是 (5、15) 的 n 个 线性无关的解，从而可知常数向量组 x1(to),x2(to),.,xn(to) 线性无关，即它们构成 n 维 线性空间的基，故对向量 x(to)一定存在惟一确定的一组常数 c1,c2,.,cn，满足 x(to)=c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t) (5、20) 现在考虑函数向量 ~ x = c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t) 由定理 2， ~ x 为 (5、15)的解，由 (5、20) 知它满足初始条件 x(to)=x0 因而由解的惟一性定 理，应有 ~ x (t)=x(t), 即 x(t)= c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t) 由定理 5,定理 6,易得 推论 1、(5、15)的线性无关解的最大的个数等于 n。 基本解组的定义: (5、15)的 n 个线性无关的解 x1(t),x2(t),.,xn(t)为 (5、15) 的一 个基本解组。 注 1: (5、15)的基本解组不唯一 注 2: (5、15)的所有解的集合构成一个 n 维线性空间 注 3:由 n 阶线性的微分方程的初值问题(5、6)与线性微分方程组的初值问题(5、7)的