广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（教案讲义）第五章 线性微分方程组 5.2 线性微分方程组的一般理论

85.2线性微分方程组的一般理论教学目的讨论线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系数方程组基本解矩阵的求法）教学要求掌握线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质，掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算教学重点解的叠加原理；向量函数的线性相关性的定义；Wronsky行列式；解矩阵的定义和性质；常数变易法；解的结构教学难点向量函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。这一节，我们讨论线性微分方程组(5. 14)x=A(t)x+f(t)的基本理论，主要研究它们解的结构问题，这里A(t)和f(t)在a≤x≤b上连续若f(t)=0,则(5.14)变为x'= A(t)x(5. 15)(5.15)称为齐线性的，若f()+0,则称(5.14)为非齐线性的,并称(5.15)为(5.14)的对应齐线性方程组齐线性微分方程组我们讨论(5.15)通解的结构，与n阶线性齐次方程类似也有下面的叠加原理定理2．设x,(t),x2(t),..,xm(t)也是(5.14)的m个解,则它们的线性组合

§5.2 线性微分方程组的一般理论 教学目的 讨论线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系数方程组 基本解矩阵的求法） 教学要求 掌握线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质，掌握常系数线性方程组基 本解矩阵的计算 教学重点 解的叠加原理；向量函数的线性相关性的定义；Wronsky 行列式；解矩阵的定义和 性质；常数变易法；解的结构 教学难点 向量函数的线性相关性；Wronsky 行列式的定义及其性质。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 这一节,我们讨论线性微分方程组 x  = A(t)x + f (t) (5.14) 的基本理论 , 主 要 研 究 它 们 解 的 结 构 问 题 , 这 里 A(t)和f (t)在a  x  b上连续, 若f (t)  0,则(5.14)变为 x  = A(t)x (5.15) (5.15)称为齐线性的,若 f (t)  0 ,则称(5.14)为非齐线性的,并称(5.15)为(5.14)的对应齐 线性方程组. 齐线性微分方程组 我们讨论(5.15)通解的结构,与 n 阶线性齐次方程类似,也有下面的叠加原理 定 理 2. 设 x1 (t), x2 (t),, xm (t)也是(5.14)的m个解,则它们的 线性组合

MZc,x,()也是(5.15)的解,这里则有c,C2.c.是任常数.-Proof:因x,(t)(i=1,2..,m)是(5.15)的解则有dx; = A(0)x,(1)(i=1,2....,m)dt所以d(cx)+...+CmXm)dtdx,dxm+Cm= Cidtdt=C,A(t)x,(t)+...+ CmA(t)x.(t)= A(t)[c,x, +...+CmXm]M：Zc,x,()也是(5.15)的解i=l定理2表明，(5.15)的所有解构成一个线性空间，自然要间，此空间的维数是多少呢?为此,先引时进向量函数x,(t),x,()..x.(t)线性相关的概念定义：设x,(t),x2(t),,xm(t)是一组定义在区间a≤x≤b上的函数向量，如果存在一组不全为零的常数c,C2...,Cm,使得对所有a≤x≤b有恒等式Cx()+...+CmXm(0)=0成立，则称此组函数向量在区间a≤x≤b上线性相关，否则，就称此组函数向量在a≤x≤b上是线性无关的例1.证明，函数向量组[cos?]- sin?t1x,(t) =1x,(0):tI在任何区间上都是线性相关的.Proof ：取c, =1,c, =-1,则[0]C)x(t)+c2x2(0)=0Vt[o]故x,(t)xz(t)在a≤x≤b线性相关

( ) (5.15) , , , , . 1 2 1 也是 的解 这里则有 m是任常数 M i i i c x t c c  c = Proof: 因 xi (t)(i =1,2,,m)是(5.15)的解,则有 A(t)x (t) dt dx i i = (i =1,2,,m) 所以 ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 m m m m m m m m A t c x c x c A t x t c A t x t dt dx c dt dx c c x c x dt d = ++ = ++ = ++ ++ ( ) (5.15) . 1 =  M i i i c x t 也是 的解 定理 2 表明,(5.15)的所有解构成一个线性空间,自然要问,此空间的维数是多少呢?为此,先引 时进向量函数 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t  m 线性相关的概念. 定义: 设 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t  m 是一组定义在区间 a  x  b 上的函数向量,如果存在一 组不全为零的常数 m c ,c , ,c 1 2  ,使得对所有 a  x  b 有恒等式 c1 x1 (t) ++ cm xm (t)  0 成立,则称此组函数向量在区间 a  x  b 上线性相关,否则,就称此组函数向量在 a  x  b 上是线性无关的. 例1. 证明,函数向量组           − =           = t t x t t t x t 1 1 sin 1 , ( ) cos ( ) 2 2 2 1 在任何区间上都是线性相关的. Proof : 取 c1 =1,c2 = −1,则           +  0 0 0 ( ) ( ) 1 1 2 2 c x t c x t t 故 ( ), ( ) 1 2 x t x t 在 a  x  b 线性相关

例2.证明函数向量组e'n0o.在(-00,+o)上线性无关.Proof：要使Cx,(t)+c,x()+cx,(0) = 成立,则需[e'00es0-80<1<+80ley100因为0e2ee3re3t0=-2e4<00ley1所以得※c=C,=C,=0,故x,x2,x,线性无关下面介绍(5.15)解的函数向量组x,(t)..,x,()在所定义区间上线性相关的判别准则设有n个定义在区间a≤x<b上的向量函数[x(0)][xn (0)]X21(0)X2n(t)x() =,X,()=[()]xmm(t)由这个向量函数构成的行列式[x()Xi2(t)Xin(t)+...X21(1) X22(t)...X2.(0)W[x (t)....x,()] =W(t) =..[xm(t) Xn2(t)x.n(t)...称为这些向量函数的Wronsky行列式定理3.如果向量函数x;(t)..,x,(t)在a≤x<≤b上线性相关,则它们的Wronsky行列式w(t)=0,a≤t≤b.Proof：因x(t)...,x(t)在a≤x≤b上线性相关，从而存在不全为零的常数

例2. 证明函数向量组           =           =           = − 0 , 1 0 0 , 3 2 1 3 1 1 t t t t t e e x e x e e x 在 (−,+) 上线性无关. Proof: 要使 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 3 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2            +           +           + + = − t t t t t e e c e c e e c x t c x t c x t c 成立,则需           =                     − 0 0 0 1 0 0 0 3 2 1 3 3 2 c c c e e e e e t t t t t −   t  + 因为 2 0 1 0 0 0 3 3 4 2 = −            − t t t t t t e e e e e e 所以得※ c1 = c2 = c3 = 0,故x1 , x2 , x3线性无关 下面介绍(5.15)解的函数向量组 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在所定义区间上线性相关的判别准则 设有 n 个定义在区间 a  x  b 上的向量函数               =              = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 21 11 1 x t x t x t ， ，x t x t x t x t x t nn n n n n 由这个向量函数构成的行列式                         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 x t x t x t x t x t x t x t x t x t W x t x t W t n n n n n n n 称为这些向量函数的 Wronsky 行列式 定理 3.如果向量函数 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  x  b 上线性相关,则它们的 Wronsky 行列 式 W (t)  0 , a  t  b . Proof: 因 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  x  b 上线性相关,从而存在不全为零的常数

j...使cx(t)+c,x(t)+...+c,x,(t)=0,a≤x≤b从而对任一确定的t。e[a,b]常向量组x;(t),.,x,(1)均线性相关,因而W(to)=0,由t。的任意性,故有W(t)=0,te[a,b]定理4.如果(5.15)的解x(t),...,x,(t)线性无关,那么它们的Wronsky行列式W(t)+0,a≤t<b.Proof：“反证法”，若有to,a≤to≤b,使得W(t)=0,则常向量组x,（t。）,...,xn（to）线性相关,即存在不全为零的常数c,c2...c,使得C)x,(to)+C2x2(to)+...+C,x,(to)=0(5.17)现在考虑函数向量x(t)=C)x(t)+c2x2(0)+...+c,x,(t)由定理2，x(t)是(5.15)的解,由(5.17)知,设解文(t)满足初始条件x(t。)=0,因此由解的存在唯一性定理知，x(t)=0,即有Cix;(t)+Cax2()+...+C,x,(0)=0,t e[a,b)故解组x,(t),.,x,(t)在a≤t≤b上线性相关,矛盾.注:(5.15)的n个解x,(t),.,x,(1)线性相关一W(t)=0，te[a,b)(5.15)的n个解x,(1),..,x,()线性无关一W(t)+0,te[a,b]即(5.15)的n个解x;(t),..,x,(t)做成的Wronsky行列式W(t)或者恒等于零,或者恒不等于零注2.(5.15)的n个解x,(t)...,x,(t)在a≤t≤b上线性无关的充要条件为存在t。=[a,b]有W(to)±0.定理5.(5.15)一定存在n个线性无关的解Proof:任取t。E[a,b],根据解的存在唯一性定理，（5.15)一定存在满足初始条件

n c ,c , ,c 1 2  使 ( ) ( ) ( ) 0, c1 x1 t + c2 x2 t ++ cn xn t  a  x  b 从而对任一确定的 t 0 a,b,常向量组 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 均线性相关,因而 W(t 0 ) = 0, 由 0 t 的任意性,故有 W (t)  0 , t a,b. 定理 4.如果(5.15)的解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 线性无关, 那么它们的 Wronsky 行列式 W (t)  0, a  t  b . Proof: “ 反证法 ” , 若 有 t 0 ,a  t 0  b,使得W(t) = 0,则常向量组 ( ), , ( ) 1 0 0 x t x t  n 线性相关,即存在不全为零的常数 n c c c ~ , , ~ , ~ 1 2  使得 ( ) 0 ~ ( ) ~ ( ) ~ c1 x1 t 0 + c2 x2 t 0 ++ cn xn t 0 = (5.17) 现在考虑函数向量 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 1 2 2 x t c x t c x t c x t = + ++ n n 由定理 2, ( ) ~ x t 是(5.15)的解,由(5.17)知,设解 ( ) ~ x t 满足初始条件 ( ) 0 ~ x t 0 = ,因此由解的存 在唯一性定理知, ( ) 0 ~ x t = ,即有 c x t c x t c x t t a b n n ( ) 0, , ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 1 + 2 2 ++   故解组 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  t  b 上线性相关,矛盾. 注:(5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 线性相关  W (t)  0 , t a,b (5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 线性无关  W (t)  0 , t a,b 即(5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 做成的 Wronsky 行列式 W (t) 或者恒等于零,或者恒不 等于零. 注 2.(5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  t  b 上线性无关的充要条件为存在 t a,b 0  , 有 W(t 0 )  0. 定理 5.(5.15)一定存在 n 个线性无关的解 Proof: 任取 t a,b 0  ,根据解的存在唯一性定理,(5.15)一定存在满足初始条件

00001x,(to)X2(to)(to)00的解xi(t),x2(t),,n(t）tE[a,b]，且以该组作出的Wronsky行列式在to处取值为W(tO-1+0，因此由定理3可知：xi(t),x2(t),,xn(t)在[a,b]上线性无关。定理6（通解结构定理)，如果xi(t),x2(t)，,xn(t)是(5、15)的n个线性无关组的解，则1(1)x(t)=c,x,(t）是的通解，其中c1,c2，,c.是的任常数，n=l(2)（5、15）的任一解x(t）均可表为xi(i=1,2，,n）的线性组合。Zc,x,(t)Proof:由定理2知，x(t)=是（5、15)的解它包含n个任常数，又因为n=lx(t)Xi2(t).xn(t)X21(t)X22(t)... X2n(t)a(x,x2,",x,)w(t)0a(c),C2,",cn)xin(t)x2n(t)..xm(t)故ci,C2,,c.彼此独立，于是x(t)=c,x,(）为（5、15)的通解。n=l(2)设x(t)是(5、15)的任一解，且x(to)=x0,因xi(t),x2(t),,Xn(t)是(5、15)的n个线性无关的解，从而可知常数向量组xi(to),x2(to)，,x(to）线性无关，即它们构成n维线性空间的基，故对向量x(to)一定存在惟一确定的一组常数C1,C2，"，Cn，满足(5、20)X(to)=CiXi(t)+C2X2(t)+*+c,x, (t)现在考虑函数向量x = Cixi(t)+C2X2(t)+.*+CxX. (t)由定理2，x为(5、15)的解，由（5、20）知它满足初始条件x(to)=xo因而由解的惟一性定理，应有x(t)=x(t),即 x(t)=cixi(t)+c2x2(t)+**+c.x.(t)由定理5,定理6,易得推论1、（5、15)的线性无关解的最大的个数等于n。基本解组的定义：(5、15)的n个线性无关的解xi(t),x2(t),,xn(t)为(5、15）的一个基本解组。注1：（5、15)的基本解组不唯一注2：（5、15)的所有解的集合构成一个n维线性空间注3：由n阶线性的微分方程的初值问题（5、6)与线性微分方程组的初值问题（5、7)的

              =              =              = 1 0 0 , ( ) 0 1 0 , ( ) 0 0 1 ( ) 1 0 2 0 0 x t x t ，x t n 的解 x1(t),x2(t),.,xn(t) t∈[a,b],且以该组作出的 Wronsky 行列式在 t0 处取值为 W(t0)=1 ≠0，因此由定理 3 可知: x1(t),x2(t),.,xn(t)在[a,b]上线性无关。 定理 6（通解结构定理），如果 x1(t),x2(t),.,xn(t)是(5、15)的 n 个线性无关组的解，则 ⑴ = = n n i i x t c x t 1 ( ) ( ) 是的通解，其中 c1,c2,.,cn 是的任常数， ⑵ (5、15) 的任一解 x(t) 均可表为 xi (i=1,2,.,n) 的线性组合。 Proof:由定理 2 知， = = n n i i x t c x t 1 ( ) ( ) 是 (5、15)的解它包含 n 个任常数，又因为, ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 n n c c c x x x     = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 x t x t x t x t x t x t x t x t x t n n nn n n        = w(t)≠0 故 c1,c2,.,cn 彼此独立，于是 = = n n i i x t c x t 1 ( ) ( ) 为 (5、15) 的通解。 ⑵设 x(t)是(5、15) 的任一解，且 x(to)=xo, 因 x1(t),x2(t),.,xn(t)是 (5、15) 的 n 个 线性无关的解，从而可知常数向量组 x1(to),x2(to),.,xn(to) 线性无关，即它们构成 n 维 线性空间的基，故对向量 x(to)一定存在惟一确定的一组常数 c1,c2,.,cn，满足 x(to)=c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t) (5、20) 现在考虑函数向量 ~ x = c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t) 由定理 2， ~ x 为 (5、15)的解，由 (5、20) 知它满足初始条件 x(to)=x0 因而由解的惟一性定 理，应有 ~ x (t)=x(t), 即 x(t)= c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t) 由定理 5,定理 6,易得 推论 1、(5、15)的线性无关解的最大的个数等于 n。 基本解组的定义: (5、15)的 n 个线性无关的解 x1(t),x2(t),.,xn(t)为 (5、15) 的一 个基本解组。 注 1: (5、15)的基本解组不唯一 注 2: (5、15)的所有解的集合构成一个 n 维线性空间 注 3:由 n 阶线性的微分方程的初值问题(5、6)与线性微分方程组的初值问题(5、7)的