广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（教案讲义）第五章 线性微分方程组 5.3 常系数线性微分方程组

85.3常系数线性微分方程组教学目的讨论常系数方程组基本解矩阵的求法教学要求掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别是expA的定义、性质和计算方法，教学重点矩阵指数expA的定义及其性质；基本解矩阵的计算公式。教学难点根子空间的分解；基本解矩阵的计算公式的推导。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。所谓常系数线性微分方程组,指的是线性微分方程组X=AX+f(t)其中导数矩阵A为nXn常数矩阵.f(t)在a≤t≤b上连续的向量函数.从上节知,求解以上线性微分方程组的关键是求相应的齐次线性微分方程组X=AX（5.33)的一个基解矩阵.本节主要研究常系数线性微分方程组(5.33)的基解矩阵求法当n=1时,矩阵A为常数,这时(5.33)为x=ax它的通解为x=ce是以上方程的一个基解矩阵.由此引伸出一个设想(5.33)有一个基解矩阵e，这里首先应弄清一个矩阵放在指数位置e是什么意思一，矩阵指数expAt的定义和性质1.定义.设A是一个nXn常数矩阵,则定义矩阵指数expA为下面矩阵级数的和A?FARAexpA==E+A+(5.34)+.K=ok!2m!其中E为矩阵.Am为A的m的幂Ao=E.0!=1矩阵级数(5.34)是收敛的,即expA是一个确定的矩阵.这是由于ALA*Kk!级数"A'tkexp At=一在的任何有限区间上是一致收敛的k!k=0AckA*tk≤ck!k!2.矩阵级数的性质1).矩阵A,B可交换,则eA+B=eAeB；(5.36)

§5.3 常系数线性微分方程组 教学目的 讨论常系数方程组基本解矩阵的求法 教学要求 掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别是 expA 的定义、性质和计算方法， 教学重点 矩阵指数 expA 的定义及其性质；基本解矩阵的计算公式。 教学难点 根子空间的分解；基本解矩阵的计算公式的推导。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 所谓常系数线性微分方程组,指的是线性微分方程组 ( ) ' X = AX + f t 其中导数矩阵 A 为 n×n 常数矩阵.f(t)在 a≤t≤b 上连续的向量函数.从上节知,求解以上线性微分方程组的关键是求 相应的齐次线性微分方程组 X = AX ' (5.33)的一个基解矩阵.本节主要研究常系数线性微分 方程组(5.33)的基解矩阵求法. 当 n=1 时,矩阵 A 为常数,这时(5.33)为 x = ax ' 它的通解为 at x = ce 是以上方程的一个基解 矩阵.由此引伸出一个设想. (5.33)有一个基解矩阵 At e ,这里首先应弄清一个矩阵放在指数位 置 e 是什么意思. 一. 矩阵指数 expAt 的定义和性质. 1.定义. 设 A 是一个 n×n 常数矩阵,则定义矩阵指数 expA 为下面矩阵级数的和: =  = + + ++ +  = ! 2! ! exp 2 0 m A A E A k A A m k k (5.34) 其中 E 为矩阵.Am为 A 的 m 的幂 A0=E,0!=1. 矩阵级数(5.34)是收敛的,即 expA 是一个确定的矩阵.这是由于 ! k! A K A k k  级数 . ! exp 0 在t的任何有限区间上是一致收敛的 k A t At k k k   = = t c k A c k A t k k k k  ,  ! ! 2.矩阵级数的性质 1).矩阵 A,B 可交换,则 e A+B=eA e B ; (5.36)

由于B2A(A? +2AB+B*)+.E+B+)=E+(A+B)+expAexpB=(E+2!2121(A? +2AB+B?)+...exp(A + B) = E +(A + B) +22).对任何矩阵A,(expA)-存在,且(expA)-=exp(-A).事实上,A与-A可交换3)若T是非奇异的,则exp(T=AT)=T-expAT有了矩阵指数的基本概念及其性质，我们就可以利用它来研究（5.33)的基解矩阵，进而给出其通解首先给出下面定理定理9.矩阵Φ(t)=exppAt是(5.33)的基解矩阵,且Φ(O)=E证明：当t=0时,由expAt定义知,A'tt0()=E,又因为(0)=(ep An)=4+4+= Aexp At = AD(t)2!(k-1)故Φ(t)为基解矩阵现在要进一步解决的问题是这种用矩阵无穷级数定义的指数函数eAt可以用初等函数的有限形式表示出来.如果可以的话应如何计算它呢?先看两个例子：Taa,试求出X=AX的基解矩阵例1:如果A是一个对角矩阵，A=an解：由(5.34)可得eaka?a.ofexpAt=E+2!a.thea其实方程可写成Xk=a,X,（K=1,2..)故基本解组k!为0.0,e",00",从而求得基解矩阵21X的基解矩阵例2:试求X102]解：因为

由 于 T T AT T AT A A A A A A A B E A B A AB B E A B A AB B B E B A A B E A 3). , exp( ) exp 2). ,(exp ) , (exp ) exp( ). , . ( 2 ) 2! 1 exp( ) ( ) ( 2 ) 2! 1 ) ( ) 2! | )( 2! exp exp ( 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 − − − − = = − − + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + 若 是非奇异的 则 对任何矩阵 存在 且 事实上 与 可交换     有了矩阵指数的基本概念及其性质,我们就可以利用它来研究(5.33)的基解矩阵,进而给出其通解. 首先给出下面定理: 定理 9. 矩阵(t) = exp pAt是(5.33)的基解矩阵,且(0) = E. 证明:当 t=0 时,由 expAt 定义知, exp ( ) 2! ( 1)! (0) , ( ) (exp ) ! 3 2 ' ' A At A t k A t A t E t At A A k t + = =  −  = 又因为 = = + + ++  故 (t)为基解矩阵. 现在要进一步解决的问题是这种用矩阵无穷级数定义的指数函数 e At ,可以用初等函数的有 限形式表示出来.如果可以的话应如何计算它呢?先看两个例子: 例 1: 如果 A 是一个对角矩阵, . 2 ' 1 试求出X AX的基解矩阵 a a a A n =             =  解:由(5.34)可得 [0 0, ,0 0] , . ,( 1,2, ) ! 2! exp ' 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 为 从而求得基解矩阵 其实方程可写成 故基本解组 a t T k k k a t a t a t k n k k k n n k n e X a X K e e e k t a a a t a a a t a a a At E          = =               + =               + +               +             = + 例 2: 试求 . 0 2 2 1 X ' X的基解矩阵      = 解: 因为

07TO0022而后面两个矩阵是可交换的2E为幂零+10200020C0207-2f1O011矩阵因此expAt=expexp02010021000[e2t011110e20101例2的方法具有普遍性.我们知道任矩阵A在相似变换下都可化为标准型J.而J的每一分块又都可以分解成AE和一个幂零矩阵之和因此e"可以表成初等函数有限形式为一方面,e4"和e"由性布质3能建立关系下面就刚才说法进行讨论高代中有对任一n阶矩阵A,存在n阶非奇异矩阵T使A=T-"JT.其中J为Jordan矩阵[J,[,12J2.J=是n,阶的.J为若尔当块2.JM此因另一方面：e4t=erm=T-le"T以上公式提供了实际计算(5.33)的基解矩阵e4"的一个方法,由于T-e"=e4"T-l从而T-e"也是一个基解矩阵基解矩阵的计算公式由高代知,矩阵可对角化成Jordan分解.关键与它的特征值和特征向量关系很大.矩阵A的特征根是其特征多项式p(2)=det(aE-A)的根即p(2)=0的根矩阵A的特征根入对应的特征向量u是方程（aE-A)u=O的非零解结论：微分方程组（5.33)有非零解x=e"c的充要条件是a为矩阵A的特征根,u是与对应的特征向量.x=e"u为(5.33)的解(e"u)=Ae"u（aE-A)u=0有非零解u[35的特征值和对应的特征向量例3:试求矩阵A=-53解：A的特征值就是特征方程

      =            =         +       +        +      =             =       =            +      =      = 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 2! 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 exp 0 2 2 0 . exp exp 0 0 0 1 2 , 0 2 2 0 0 0 0 1 0 2 2 0 0 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 t e t e e t E t e e At t t A E t t t t t 矩阵因此  而后面两个矩阵是可交换的 为幂零 例 2 的方法具有普遍性.我们知道任矩阵 A 在相似变换下都可化为标准型 J.而 J 的每一分块又都 可 以 分 解 成 3 . . . , 质 能建立关系下面就刚才说法进行讨论 E和一个幂零矩阵之和因此e Jt可以表成初等函数有限形式为一方面 e At和e Jt由性 在 高代中有对任一 n 阶矩阵 A,存在 n 阶非奇异矩阵 T.使 A=T-1 JT.其中 J 为 Jordan 矩阵 . 1 1 , 2 1 为若尔当块 是 i阶的 i i i i M J n J J J J                         =       因 此 . (5.33) , , : . 1 1 1 1 2 1 1 矩阵 算 的基解矩阵 的一个方法 由于 从而 也是一个基解 另一方面 以上公式提供了实际计 A t Jt A t Jt A t T JTt Jt Jnt J t J t Jt e T e e T T e e e T e T e e e e − − − − = = =               = −  二. 基解矩阵的计算公式 由高代知,矩阵可对角化成 Jordan 分解.关键与它的特征值和特征向量关系很大.矩阵 A 的特征根  是其特征多项式 p() = det(E − A)的根.即p() = 0的根.矩阵A的 特征根  对应的特征向 量 u 是方程 (E − A)u = 0的非零解. 结论:微分方程组(5.33)有非零解 ( ) ( ) 0 , , . (5.33) ' e u Ae u E A u u x e c A u x e u t t t t 的解 有非零解 的充要条件是 为矩阵 的特征根 是与 对应的特征向量 为  =  − = = =        例 3: 试求矩阵 A= . 5 3 3 5 的特征值和对应的特征向量      − 解: A 的特征值就是特征方程

-元=2-6+34=0的根即12=3±5i.对于特征=3+5的det(A-3-555i1特征向量U=(u,u,)T必须满足代数方程组(A-a,E)U==0.解得U=5-5i(uiB±OB12的特征值和对应的特征向量例4:试求矩阵A-41解：特征方程为元-222-6元+9=0因此，入=3是A的二重特征值为了求其对det(At - A) :12.Jc -C2 = 0-6=0,或者应的特征向量考虑方程组(3E-A)c:[C -C, = 01因此向量是对应于入=3特征值的特征向量，≠0的任常数。(一)首先讨论当A具有n个线性无关的特征向量时（特别是当具有个不同的特征值时），微分方程基解矩阵的计算方法。定理10、如果A矩阵具有n个线性无关的特征向量vi，V2，，V它们对应的特征值分别为元1，入2，，入n（不必各不相同）那么矩阵d(t)=[eyi,e"v2,"".,ey,],-0<t<00是常系数线性微分方程组x’=Ax的一个基解矩阵。Proof：由上面讨论知，每一个向量函数eityj(i-1,2,3,,n）都是(5、33)的一个解，因此矩阵o(t)=[e"y,e"y,,..,e"y,]是（5、33）的一个解矩阵，因为Vi,V2，，V线性无关，所以det(0)=det[vi,V2, ", V.]=0故@（t）是（5、33）的一个基解矩阵。例5、试求方程组x=3.5X-5 3的一个基解矩阵

, 0 1 0. 5 5 5 5 ( , ) ( ) 6 34 0 . 3 5 . 3 5 5 3 3 5 det( ) 2 1 1 2 1 1,2 1 2        = =         − − = − = = − + = =  = + − − − − =           i U u u i i U u u T A E U A t i i 特征向量 必须满足代数方程组 解得 的根即 对于特征 的 例 4:试求矩阵 A= . 1 4 2 1 的特征值和对应的特征向量      − 解: 特征 方程为    − = − = =            − − − = = − + = = − − − − = 0 0 0, 1 1 1 1 . (3 ) 6 9 0 , 3 . 1 4 2 1 det( ) 1 2 1 2 2 1 2 c c c c c c E A c t A A 应的特征向量考虑方程组 或者   因此  是 的二重特征值为了求其对    因此向量         = 1 1 c  是对应于  =3 特征值的特征向量,  ≠0 的任常数。 ㈠首先讨论当 A 具有 n 个线性无关的特征向量时（特别是当具有个不同的特征 值时），微分方程基解矩阵的计算方法。 定理 10、如果 A 矩阵具有 n 个线性无关的特征向量 v1,v2,.,vn 它们对应的特 征值分别为  1,  2,.,  n（不必各不相同）那么矩阵 t = e v e v e vn −  t   t t t n ( ) [ , , , ], 1 2 1 2    是常系数线性微分方程组 x’=Ax 的一个基解矩阵。 Proof：由上面讨论知，每一个向量函数 e  jtvj ( j=1,2,3,.,n) 都是(5、33) 的一个解，因此矩阵 ( ) [ , , , ] 1 2 1 2 n t t t t e v e v e v   n  =  是 （ 5 、 33 ）的一个解矩阵，因为 v1,v2, . ,vn 线性无关，所以 det  (0)=det[v1,v2,.,vn]=0 故  (t) 是（5、33）的一个基解矩阵。 例 5、试求方程组 x ’= 3 5 x -5 3 的一个基解矩阵

解：由例3知，2=3+5i和2=3-5i是A的特征值，即是对应于1，元2的两个线性无关的特征向量，由定理10，矩阵e(3+5i)(3-5i)tied(t)= (3-5i)tie(3+5i)te就是一个基解矩阵又c=(0)注：一般来说，(t）不一定是expAt，但是由于expAt=Φ(t)c(5、67)即expAt=(t)@-(0)且当A是实解，expAt也是实的例6、试求例5的实基解矩阵。解：由于基解矩阵@(t)为e (3+5i)tie (3-5i)td(t)=(3-5i)tie (3+5i)te故其实解矩阵为(3+5i)texpAt=1ee1(3-5i)t(3+5i)t1iee=1(3+5i)tie (3-5i)te2ie (3+5i)t(3-5i)t1e(3-5i)t(3-5i) t)(3+5i)i (e (3+5i)te2 (3-5i)t(3+5i)t(3-5i)t)e (3+5i)t+T3cos5tsin5tecos5t-sin5t5x’-28-18例7、求微分方程组-X-1533-16-10

解:由例 3 知, 3 5i 1 = + 和 3 5i 2 = − 是 A 的特征值,即是对应于  1,  2的两个线性无关的特征向量.由定理 10,矩阵 (t) = e (3+5i)t ie(3-5i)t ie(3+5i)t e (3-5i)t 就是一个基解矩阵. 注: 一般来说, (t) 不一定是 expAt,但是由于 expAt= (t) c 又 c=  -1 (0) 即 expAt=  (t)  -1 (0) (5、67) 且当 A 是实解, expAt 也是实的. 例 6、试求例 5 的实基解矩阵。 解:由于基解矩阵  (t)为 (t) = e (3+5i)t ie(3-5i)t ie(3+5i)t e (3-5i)t 故其实解矩阵为 expAt= e (3+5i)t ie(3-5i)t 1 i ie(3+5i)t e (3-5i)t i 1 = 2 1 e (3+5i)t ie(3-5i)t 1 -i ie(3+5i)t e (3-5i)t -i 1 = 2 1 e (3+5i)t+e(3-5i)t i(e(3+5i)t -e (3-5i)t) i(e(3+5i)t -e (3-5i)t) e(3+5i)t+e(3-5i)t = e 3t cos5t sin5t -sin5t cos5t 例 7、求微分方程组 x ’= 5 -28 -18 x -1 5 3 3 -16 -10