问题 上两个例子，一个是几何问题，求的 是以曲线y=x)为曲边，以[a,b]为底边的 曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是 速度函数为()的变速直线运动的物体在时 间区间[a,b]所走过的路程 归纳它们求的都是展布在某个区间上的总 量（总面积或总路程) 解决方法： 通过局部取近似（求微分），求和取极限 (微分的无限求和)的方法，把总量归结为 求一种特定和式的极限
问题 以上两个例子，一个是几何问题，求的 是以曲线 y = f(x)为曲边，以[a,b] 为底边的 曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是 速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时 间区间 [a,b] 所走过的路程 归纳它们求的都是展布在某个区间上的总 量（总面积或总路程） 解决方法： 通过局部取近似（求微分），求和取极限 （微分的无限求和）的方法，把总量归结为 求一种特定和式的极限
类似的例子还可以举出很多（几何、物 理的，在下一章定积分应用中即可见到) 这些问题虽然研究的对象不同，但解决 问题的思路及形式都有共同之处。为了一般 地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体 含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念
类似的例子还可以举出很多（几何、物 理的，在下一章定积分应用中即可见到） 这些问题虽然研究的对象不同，但解决 问题的思路及形式都有共同之处。为了一般 地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体 含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念
二、定积分的定义 定义设函数f(x)在4，b]上有界，在[4，b]中任意插入 若干个分点=X。<x<X2<.<X1<Xn=b 把区间可4，b]分成1个小区间，各小区间的长度依次为 △x:=;-x-1,(i=1,2,),，在各小区间上任取 一点5：(5：∈△r:),作乘积f(5:)△x,(i=1,2,.) 并作和S=∑f(5)△x;记入=max{△x1,△x2,.,△rn}, i=1 如果不论对，b1怎样的分法，也不论在小区间x:-1,x;上 点5：怎样的取法，只要当入→0时，和S总趋于 确定的极限I,我们称这个极限I为函数f(x)
定义 设函数 f (x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入 若干个分点 a x x x x x b = 0 1 2 n−1 n = 把区间[a,b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为 xi = xi − xi−1，(i = 1,2, )，在各小区间上任取 一点 i（ i xi），作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1 ，记 max{ , , , } = x1 x2 xn ， 如果不论对[a,b] 怎样的分法，也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 点 i怎样的取法， 只要当 → 0时， 和S总趋于 确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数 f (x) 二、定积分的定义
在区间[，b]上的定积分，记为 积分上限 ∫f(x)d∈I=lim∑f(传，)A, →0 i=1 积分和 积分下限 被积函 被积表达式 积分变量 [a,b]积分区间 注意： (1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关 f(x)d=∫f(t)adt=∫f(w)da (2)定义中区间的分法花，的取法是任意的
在区间[a,b]上的定积分， 记为 = = ba f (x)dx I i i ni f x = → lim ( ) 1 0 被积函数 被积表达式 积分变量 积分下限 积分上限 [a,b]积分区间 积分和 注意： （1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关. ba f (x)dx = ba f (t)dt = ba f (u)du （2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的
(3)当函数f(x)在区间[，b1上的定积分存在时 称f(x)在区间a,b上可积 三、存在定理 定理1 当函数f(x)在区间M,b]上连续时， 称f(x)在区间M,b]上可积 定理2 设函数f(x)在区间4，b]上有界， 且只有有限个间断点，则f(x)在 区间M,b]上可积
（3）当函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分存在时， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 定理1 当函数 f (x)在区间[a,b]上连续时， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 定理2 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 且只有有限个间断点，则 f (x)在 区间[a,b]上可积. 三、存在定理